Основные определения и соотношения. Теоремы синусов и косинусов.: Часть 2
Математика, 9 класс
Решение треугольников Под решением треугольников мы понимаем вычисление неизвестных элементов треугольника по заданным в условии задачи. В общем случае треугольник определяется тремя элементами, при э...
Видео
Конспект
Решение треугольников
Под решением треугольников мы понимаем вычисление неизвестных элементов треугольника по заданным в условии задачи. В общем случае треугольник определяется тремя элементами, при этом как минимум один из них должен быть линейным. Если эти элементы входят в хотя бы один из признаков равенства треугольников, то треугольник определяется однозначно. В противном случае возможны несколько вариантов решений. Для решения <<общих>> треугольников, то есть треугольников, не являющихся равнобедренными, прямоугольными и т.п., часто используют теоремы синусов и косинусов. Теорему синусов удобно применять, если известен один или два угла в треугольнике.
Пример 1.1.
Условие
Найдите площадь треугольника, если известны сторона треугольника a и два прилежащих к ней угла \gamma и \beta .
Решение
Geom_147 Рис. 1.1
Для того, чтобы найти площадь как произведение сторон на синус угла между ними, нужно найти еще одну сторону, например, b , лежащую напротив угла \beta (см. рис. 1.1). Для этого воспользуемся теоремой синусов: \frac{a}{\sin(\pi-\gamma-\beta)}=\frac{b}{\sin\beta} \Rightarrow b=\frac{a\cdot \sin{\beta}}{\sin(\gamma+\beta)}.
Здесь учтено, что сумма углов треугольника равна \pi . Тогда площадь треугольника S=\frac{a^2\cdot \sin{\beta}\cdot \sin {\gamma}}{2\sin(\gamma+\beta)}.
Ответ \frac{a^2\cdot \sin{\beta}\cdot \sin {\gamma}}{2\sin(\gamma+\beta)}.
Задача 1.2.
Условие
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если известна его сторона a , противолежащий ей угол \angle A=\alpha и один из прилежащих ей углов \angle B=\beta .
Решение
Найдем радиус окружности по формуле r=\frac{S}{p} , то есть через площадь и полупериметр. Стороны треугольника найдем по теореме синусов: \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin (\pi-\alpha-\beta)}\Longleftrightarrow b=\frac{a\sin \beta}{\sin\alpha}; c=\frac{a\sin (\alpha+\beta)}{\sin\alpha}. Площадь треугольника найдем по формуле S=\frac{1}{2}ab\sin(\alpha+\beta) . Тогда r=\frac{a\frac{a\sin \beta}{\sin\alpha}\sin(\alpha+\beta)}{a+\frac{a\sin \beta}{\sin\alpha}+\frac{a\sin (\alpha+\beta)}{\sin\alpha}}.
Ответ \frac{a\sin \beta \sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin \beta+\sin(\alpha+\beta)} .