Основные определения и соотношения. Теоремы синусов и косинусов.: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 1.3.

Условие

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если AB=18 , AC=5 , AH=3 и AH - высота треугольника ABC .

Решение

Воспользуемся теоремой синусов. Для этого из прямоугольного треугольника ABH найдем синус угла B : \sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{6}. Тогда диаметр описанной окружности 2R=\frac{AC}{\sin B}=30 .

Ответ 15.

Задача 1.4.

Условие

В остроугольном треугольнике даны сторона a=4 , сторона b=5 и радиус описанной окружности R= \frac{8}{\sqrt{7}} . Найдите высоту, опущенную на сторону a .

Решение

Для того, чтобы найти высоту, найдем площадь треугольника S=a\cdot b\cdot \sin C . Для этого сначала найдем углы треугольника по теореме синусов: \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R\Longrightarrow\sin A=\frac{a}{2R}=\frac{\sqrt 7}{4};\quad \sin B=\frac{b}{2R}=\frac{5\sqrt 7}{16}. В силу того, что \sin C=\sin \left(A+B\right)=\sin A \cos B+\cos A\sin B , нужно знать косинусы углов A и B . \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\frac{9}{16};\quad \cos B=\sqrt{1-\sin^2 B}=\frac{3}{4}, откуда \sin C=\frac{\sqrt 7}{4}\cdot \frac{9}{16}+\frac{5\sqrt 7}{16}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt 7}{8}. Тогда высота равна \frac{2S}{a}=\frac{4\cdot 5\cdot \frac{3\sqrt 7}{8}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{8}.

Ответ \frac{15\sqrt{7}}{8} .

Теорема косинусов используется, например, если надо найти углы треугольника по заданным сторонам, все стороны при заданном угле и т.д.

Пример 1.5.

Условие

В треугольнике даны сторона a , угол B и радиус описанной окружности R . Найдите стороны b и c .

Решение

Сторону b можно найти по теореме синусов: \frac{b}{\sin B}=2R\Longrightarrow b=2R\sin B. Для того, чтобы найти сторону c , применим теорему косинусов. Хотя угол C неизвестен, сторону с можно найти, записав теорему косинусов для известного угла B : b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Longleftrightarrow c^2-2ac \cos B+(a^2-b^2)=0. Задача сведена к решению квадратного уравнения. Подставляя уже найденное значение b и решая уравнение, получаем ответ.

Ответ b = 2R \sin B ; c = a\cos B \pm \sin B \sqrt{4R^2 - a^2} .

Задача 1.6.

Условие

В \Delta ABC BC = 6 , AC = 5 , а угол при вершине B равен 30^{\circ} . Найдите площадь треугольника, если расстояние от вершины A до прямой BC меньше, чем 1/\sqrt{2} .

Решение

Площадь треугольника равна S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B . Воспользуемся теоремой косинусов для угла B и найдем AB=c : AC^2=BC^2+AB^2-2AB\cdot BC\cos B\Longleftrightarrow 25=36+c^2-2\cdot 6\frac{\sqrt 3}{2}\Longleftrightarrow c^2-6\sqrt 3 c+11=0. Корни уравнения c=\frac{3\sqrt 3\pm 4}{2} . Тогда S= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{3\sqrt 3\pm 4}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{3\left(3\sqrt{3} \pm 4\right)}{2}. С учетом условия, что высота треугольника меньше, чем 1/\sqrt{2} , оставляем только знак минус перед корнем.

Ответ \frac{3\left(3\sqrt{3} - 4\right)}{2} .