Прямоугольные треугольники: Часть 1

Видео

Конспект

Прямоугольные треугольники

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC \angle C - прямой, AB=c - гипотенуза, AC=b и BC=a - катеты, CD=h - высота, опущенная из вершины прямого угла (см. рис. 3.1.).

Основные соотношения:

Теорема Пифагора c^2=a^2+b^2 .

Высота, опущенная из прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу: h^2=AD\cdot DB .

Катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: b^2=AD\cdot c , a^2=BD\cdot c .

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, то есть гипотенуза есть диаметр описанного круга, его радиус R=

\frac{c}{2} .

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанного круга.

Радиус вписанной окружности есть r= \frac{ab}{a+b+c} .

Пример 3.1.

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC = a , BC = b . Найдите высоту треугольника CH , опущенную на гипотенузу, и длины отрезков, на которые точка H делит гипотенузу.

Решение

Рассмотрим \triangle ACH и \triangle ABC (см. рис. 3.2.).

Они подобны по двум углам (угол A общий, оба треугольника прямоугольные). Тогда \frac{AC}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{AH}{AC} или, обозначая AH=x,~~HB=y,~~CH=h , имеем \frac{b}{c}=\frac{h}{a}=\frac{x}{b}. Отсюда h=\frac{ab}{c},~~x=\frac{bh}{a}=\frac{b^2}{c}, y=c-\frac{b^2}{c}=\frac{a^2}{c}. Заметим, что xy=\frac{a^2}{c}\cdot \frac{b^2}{c}=\left(\frac{ab}{c}\right)^2 = h^2. Таким образом, катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: a=\sqrt{y\cdot c}, ~~ b=\sqrt{x \cdot c}, а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу: h=\sqrt{x \cdot y}. Последнее соотношение можно было также получить из подобия \triangle ACH и \triangle BCH . Находя c по теореме Пифагора, получаем ответ.

Ответ h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} ; x=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} ; y=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Пример 3.2.

Условие

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен \frac{a+b-c}{2} .

Доказательство

Воспользуемся формулой для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности, приведенной выше, и теоремой Пифагора: r= \frac{ab}{a+b+c}=\frac{2ab}{2(a+b+c)}=\frac{2ab+(a^2+b^2)-c^2}{2(a+b+c)}= \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2(a+b+c)}=\frac{a+b-c}{2}.

Задача 3.3.

Условие

Докажите, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма диаметров описанной и вписанной окружности равна сумме его катетов.

Доказательство

Пусть катеты треугольника a и b , гипотенуза - c . Диаметр описанной около прямоугольного треугольника равен гипотенузе c , а диаметр вписанной окружности в соответствии с полученной выше формулой равен a+b-c . И это доказывает утверждение.

Задача 3.4.

Условие

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 , а высота, проведенная к ней, равна 2 . Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение

Радиус описанной окружности, очевидно, равен 2,5. Обозначим катеты треугольника a и b . Запишем площадь двумя способами: S=\frac{ab}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}\Longrightarrow ab=10 . По теореме Пифагора a^2+b^2=25\Longrightarrow(a+b)^2-2ab=25\Longleftrightarrow (a+b)^2=45 . Значит, r=\frac{\sqrt{45}-5}{2} .

Ответ \frac{3\sqrt{5}-5}{2} ; 2,5 .