Прямоугольные треугольники: Часть 2
Математика, 9 класс
Задача 3.5. Условие Докажите, что если одна из сторон треугольника вдвое больше медианы, проведенной к этой стороне, то этот треугольник прямоугольный. Доказательство 3.5 Рассмотрим треугольник ACB ,...
Видео
Конспект
Задача 3.5.
Условие
Докажите, что если одна из сторон треугольника вдвое больше медианы, проведенной к этой стороне, то этот треугольник прямоугольный.
Доказательство
3.5 Рассмотрим треугольник ACB , где CM - медиана, причем AB=2CM . Тогда треугольник ACM - равнобедренный, CM=AM и \angle ACM=\angle CAM , обозначим его \alpha . Аналогично, треугольник CMB - равнобедренный, CM=BM и \angle BCM=\angle CBM , обозначим его \beta . Тогда \angle C=\alpha+\beta . Сумма углов в \triangle ABC=\angle A +\angle B+\angle C=\pi\Longleftrightarrow 2\alpha+2\beta=\pi . Значит, \angle C=\frac{\pi}{2} , и треугольник прямоугольный.
Задача 3.6.
Условие
Медианы AA_1 , BB_1 и CC_1 треугольника ABC пересекаются в точке M . Известно, что AC = 3MB . Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Доказательство
3.6 Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, поэтому MB=\frac{2}{3}BB_1 , откуда AC=3MB=2BB_1 . В предыдущей задаче было показано, что если медиана в два раза меньше стороны, то этот треугольник прямоугольный, что и требовалось доказать.
Задача 3.7.
Условие
Прямоугольный треугольник вписан в круг радиуса R . Найдите его высоту, опущенную на гипотенузу, если она делит гипотенузу в отношении \frac{m}{n} .
Решение
3.7 Гипотенуза AB треугольника ABC равна 2R . Высота CH делит AB на отрезки AH=mx и HB=nx , где x - неизвестный коэффициент. Тогда mx+nx=2R , значит, AH=\frac{2mR}{m+n} ; HB=\frac{2nR}{m+n} . Высота, опущенная на гипотенузу, есть средне геометрическое отрезков гипотенузы: CH^2=AH\cdot HB\Longleftrightarrow CH=\frac{2R\sqrt{mn}}{m+n}.
Ответ 2R\frac{\sqrt{mn}}{m+n} .
Пример 3.8.
Условие
В треугольнике ABC угол C прямой, тангенс угла A равен \frac{1}{4} , медиана BD равна \sqrt{5} . Найдите площадь треугольника ABD и радиус окружности, описанной около треугольника ABD .
Решение
Geom_155 Рис. 3.3.
Обозначим BC=a , тогда AC=a\cdot \ctg{A}=4a (см. рис. 3.3.).
Так как BD - медиана, то CD=2a , следовательно, по теореме Пифагора для треугольника BCD 4a^2+a^2=5\Longrightarrow a=1 . Площадь треугольника ABC S_{ABC}= \frac{1}{2}AC\cdot BC=2 , тогда S_{ABD}= \frac{1}{2}S_{ABC}=1 . Радиус описанной около треугольника ABD окружности можно найти по формуле R = \frac{AB\cdot BD \cdot AD}{4S} , так как BD=\sqrt{5} , AD=1 и AC=4 , а AB можно найти по теореме Пифагора, AB=\sqrt{17} .
Ответ S_{ABD}=1 ; R=\frac{\sqrt{85}}{2} .