Прямоугольные треугольники: Часть 3
Математика, 9 класс
Задача 3.9. Условие В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D . Известно, что BD=4 , DC=6 . Найдите площадь треугольника ADC . Решение 3.9 По...
Видео
Конспект
Задача 3.9.
Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D . Известно, что BD=4 , DC=6 . Найдите площадь треугольника ADC .
Решение
3.9 По свойству биссектрисы AB:BC=4:6 . Пусть AB=2x , AC=3x , а по теореме Пифагора 4x^2+100=9x^2 . Отсюда x=2\sqrt 5 . Значит, площадь треугольника ABC равна S=10x=20\sqrt 5 . S_{\triangle ADC}: S_{\triangle ADB}=3:2\Longleftrightarrow\frac{S_{\triangle ADC}}{20\sqrt 5-S_{\triangle ADC}}=\frac{3}{2}, откуда S_{\triangle ADC}=12\sqrt{5} .
Ответ 12\sqrt{5} .
Задача 3.10.
Условие
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2 . Найдите стороны треугольника.
Решение
3.10 Медиана CM делит угол \angle ACB в отношении 1:2 , то есть углы равны \angle ACM=30^{\circ} , \angle BCM=60^{\circ} . Медиана равна половине гипотенузы, поэтому треугольники AMC и BMC равнобедренные. Более того, \triangle BMC равносторонний. Тогда AB=2m; ~BC=m;~ AC=m \sqrt 3 .
Ответ m ; m \sqrt 3 ; 2m .
Пример 3.11.
Условие
Периметр прямоугольного треугольника ABC ( \angle C = 90^\circ ) равен 72 см, а разность между длинами медианы CM и высоты CK равна 7 см. Найдите длину гипотенузы.
Решение
Пусть CM=m, CK=h , а катеты треугольника равны a и b (рис. 3.4.). По условию m-h=7 . Также учтем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна удвоенной медиане, проведенной из вершины прямоугольного треугольника: c=2m , следовательно, a^2+b^2=4m^2 .
Geom_157 Рис. 3.3.
Далее, площадь треугольника ABC можно записать как S=\frac{ab}{2}=mh . В итоге получаем систему уравнений
\left\{ {\begin{array}{l}
m-h= 7, \\
ab=2mh, \\
a+b+2m=72,\\
a^2+b^2=4m^2.
\end{array}} \right. Подставим h=m-7 во второе уравнение и, исключая таким образом одну переменную, получаем: \begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
ab=2m^2-14m, \\
a+b=72-2m,\\
a^2+b^2=4m^2,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
2ab=4m^2-28m, \\
a^2+b^2+2ab=(72-2m)^2,\\
a^2+b^2=4m^2,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
2ab=4m^2-28m, \\
4m^2+4m^2-28m=72\cdot 72-4\cdot 72 m+4m^2,\\
a^2+b^2=4m^2.
\end{array}} \right.
\end{array} Требуется найти длину гипотенузы, которая равна 2m , поэтому достаточно решить квадратное уравнение для m : m^2+65m-{36}^2=0. Дискриминант этого уравнения равен 97^2 , положительный корень этого уравнения m=16 .
Ответ 32 см.