Задачи на отношения и подобие Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Пропорциональные отрезки в треугольнике. Произвольное расположение точек

Теперь рассмотрим случай пересечения произвольно заданных отрезков в треугольнике.

Пример 5.10.

Условие

Точка K лежит на стороне AB , а точка M - на стороне AC \Delta ABC , причем AK:KB = m : n , AM:MC =

p : q . Отрезки KC и BM пересекаются в точке O . Найдите отношения BO:OM , CO:OK .

Решение

Первый способ. Найдем, например, BO:OM . Пусть AK = ma , BK = na ; AM = pb , MC = qb . Проведем через <<основание>> прямой BM прямую MD , параллельную AB . Проведем MD \| AB (см. рис. 5.12.).

Тогда появляются две пары подобных треугольников: \triangle KBO \sim \triangle OMD и \triangle AKC \sim \triangle MDC . Из первого подобия выразим искомое отношение через вспомогательный отрезок MD : \frac{BO}{OM} = \frac{KB}{MD} \Longrightarrow

\frac{BO}{OM} = \frac{na}{MD}. Второе подобие используем, чтобы найти неизвестное отношение \frac{a}{MD} : \frac{AK}{MD} = \frac{AC}{MC} \Longrightarrow

\frac{ma}{MD} = \frac{(p + q)b}{qb} \Longrightarrow

\frac{a}{MD} = \frac{(p + q)}{mq}. Отсюда \frac{BO}{OM} = \frac{n(p + q)}{mq} . Второе искомое отношение получается аналогично.

Второй способ. Сохраним введенные в первом способе решения обозначения, однако сделаем другое дополнительное построение: проведем KL \| BM , обозначим LM = x (см. рис. 5.13.).

По обобщенной теореме Фалеса для параллельных прямых KL и BM , пересекающих стороны \angle BAC , \frac{LM}{AM} = \frac{BK}{AB} ~\Longrightarrow~

\frac{x}{pb} = \frac{na}{(m + n)a} ~\Longrightarrow~

x = \frac{pnb}{m + n}. Теперь применим обобщенную теорему Фалеса для параллельных прямых KL и BM , пересекающих стороны \angle KCA : \frac{CO}{OK} = \frac{CM}{LM} ~\Longrightarrow~

\frac{CO}{OK} = \frac{qb}{x} = \frac{qb(m + n)}{pnb} =

\frac{q(m + n)}{pn}.

Ответ \frac{BO}{OM} = \frac{n(p + q)}{mq} ; \frac{CO}{OK} = \frac{q(m + n)}{pn} .

Пример 5.11.

Условие

В треугольнике ABC \frac{AB}{BC}=\frac{3}{5} . В треугольнике проведены биссектриса BD и медиана AE , пересекающиеся в точке Q . Найдите, какую долю от биссектрисы BD составляет отрезок QD .

Решение

Geom_161 Рис. 5.14.

Нам надо найти отношение \frac{QD}{BD} . Для того, чтобы применить описанный подход к решению задачи, найдем отношения \frac{AD}{DC} и \frac{BE}{EC} (см. рис. 5.14.). Из свойства биссектрисы получаем \frac{AD}{DC}=\frac{3}{5} ; обозначим AD=3x и DC=5x . В силу того, что AE - медиана, можно положить BE=EC=y . Проведем дополнительный отрезок прямой DF , параллельной BC , обозначим его длину z . Тогда из подобия \triangle FQD и \triangle BQE получаем \frac{BQ}{QD} = \frac{BE}{FD} \Longrightarrow \frac{BQ}{QD} = \frac{y}{z}, а из подобия \triangle AEC и \triangle AFD следует, что \frac{EC}{FD} = \frac{AC}{AD} \Longrightarrow \frac{y}{z} = \frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}. Отсюда \frac{BQ}{QD} = \frac{8}{3} \Longrightarrow \frac{BQ}{QD} + 1 = \frac{8}{3} + 1 \Longrightarrow

\frac{BQ + QD}{QD} = \frac{11}{3} \Longrightarrow \frac{QD}{BD} = \frac{3}{11}.

Ответ \frac{3}{11} .

Задача 5.12.

Условие

В треугольнике ABC сторона AB продолжена так, что AD:AB=4:1 . Прямая, проходящая через точку D , делит сторону BC в отношении 4:1 , считая от точки B . Найдите, в каком отношении она делит сторону AC .

Решение

5.12 Рассмотрим случай, когда сторона AB продолжена за сторону A . Тогда AD=4x , AB=x . Пусть прямая, проходящая через точку D , пересекает сторону BC в точке P , а сторону AC в точке Q . При этом BP=4y , PC=y . Соединим точки D и C . Проведем AK\parallel BC . Пусть AK=z . Из подобия \triangle AKQ и \triangle QPC следует \frac{z}{y}=\frac{AQ}{QC} . Из подобия \triangle ADK и \triangle BDP следует \frac{4x}{5x}=\frac{z}{4y} . Из этих двух соотношений получаем \frac{AQ}{QC}=\frac{16}{5} . Продолжение за точку B рассматривается аналогично.

Ответ \frac{16}{5} ; \frac{16}{3} .

В следующем примере мы имеем задачу, обратную к разобранной в примере 5.11., в котором дано в каком отношении делятся стороны треугольника, а требуется найти в каком отношении делятся точкой пересечения отрезки, соединяющие точки на сторонах треугольника. В этом примере, наоборот, мы знаем в каком отношении делятся точкой пересечения отрезки, соединяющие точки на сторонах треугольника, а требуется найти в каком отношении делятся стороны треугольника концами отрезков.

Пример 5.13.

Условие

В \Delta ABC отрезки AD и BE , проведенные из вершин A и B к сторонам BC и AC соответственно, делятся между собой в следующем отношении: \frac{AQ}{QD} = \frac{3}{2} , \frac{BQ}{QE} = \frac{4}{5} (точка Q - точка пересечения отрезков AD и BE ). В каком отношении точки D и E делят стороны треугольника?

Решение

Geom_125 Рис. 5.15.

Зная решение примера 5.11., можно решить данную задачу алгебраически. Однако мы построим геометрическое решение задачи, воспользовавшись методом примера 5.11. Пусть AQ = 3a , QD = 2a ; BQ = 4b , QE = 5b . Проведя прямую EF \| BC , получим две пары подобных треугольников: \triangle AFE \sim \triangle ADC , \triangle FEQ \sim \triangle BDQ (см. рис. 5.15.).

Для первой пары треугольников \frac{AC}{AE} = \frac{DC}{FE}. Из соотношения подобия для второй пары треугольников получим выражение для FE : \frac{BD}{FE} = \frac{BQ}{QE} \Longrightarrow

\frac{BD}{FE} = \frac{4b}{5b} \Longrightarrow

FE = \frac{5}{4} BD. Отсюда вытекает \frac{AC}{AE} = \frac{4}{5} \frac{DC}{BD} - первое уравнение для отношений.

Аналогично, проводя прямую DG \| AC , построим две пары подобных треугольников \triangle DGQ \sim \triangle AQE , \triangle BDG \sim \triangle BCE (см. рис. 5.15.) и получим второе уравнение для отношений: \frac{BC}{BD} = \frac{3}{2} \frac{EC}{AE} . Поскольку AC =

AE + EC , BC = BD + DC , имеем следующую систему уравнений: \left\{ \begin{array}{l}

1 + \frac{EC}{AE} = \frac{4}{5} \frac{DC}{BD},\\

\\

1 + \frac{DC}{BD} = \frac{3}{2} \frac{EC}{AE}.\\

\end{array} \right. Решая ее, получаем ответ.

Ответ \frac{AE}{EC} = \frac{1}{9} , \frac{BD}{DC} = \frac{2}{25} .