Задачи на отношения и подобие Часть 2: Часть 3
Математика, 9 класс
Задача 5.17. Условие На продолжении основания AC \Delta ABC за точку C взята точка Q такая, что \frac{QA}{QC} = \lambda , а на стороне AB - точка D такая, что \frac{BD}{DA} = p/q . В каком отношении о...
Видео
Конспект
Задача 5.17.
Условие
На продолжении основания AC \Delta ABC за точку C взята точка Q такая, что \frac{QA}{QC} =
\lambda , а на стороне AB - точка D такая, что \frac{BD}{DA}
= p/q . В каком отношении отрезок DQ , пересекаясь со стороной BC , делит эту сторону?
Решение
5.17 Воспользуемся теоремой Менелая: \frac{AD}{DB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{AQ}=1\Longleftrightarrow \frac{q}{p}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{1}{\lambda}=1. Отсюда \frac{BP}{PC}=\lambda\frac{p}{q}.
Ответ \lambda\frac{p}{q} .
Задача 5.18.
Условие
На сторонах AB и BC \Delta ABC взяты соответственно точки D и E так, что \frac{BD}{DA} = \frac{p}{q} , \frac{BE}{EC} = \frac{m}{n} \left(\frac{p}{q} \ne \frac{m}{n}\right) . Через точки D и E проведена прямая до пересечения в точке Q с прямой AC . Найдите отношение \frac{QA}{QC} .
Решение
5.18 По теореме Менелая \frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1\Longleftrightarrow \frac{q}{p}\cdot\frac{m}{n}=\frac{QA}{CQ}.
Ответ \frac{mq}{np} .
Пример 5.19.
Условие
Докажите теорему Чевы: В \triangle ABC точки A_1 , B_1 и C_1 лежат соответственно на сторонах BC , AC и AB , причем отрезки AA_1 , BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке. Тогда \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot
\frac{CB_1}{B_1A} = 1.
Доказательство
5.19 Рассмотрим теорему Менелая для \triangle ABB_1 с секущей CC_1 : \frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BO}{OB_1}\cdot \frac{CB_1}{CA}=1. Аналогично запишем теорему Менелая для \triangle CBB_1 с секущей AA_1 : \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BO}{OB_1}\cdot \frac{AB_1}{CA}=1. В обоих равенствах присутствует отношение \frac{BO}{OB_1} . Выразим его первого и второго равенств и приравняем полученные выражения: \frac{BO}{OB_1}=\frac{C_1B}{AC_1}\cdot \frac{CA}{CB_1}=\frac{A_1B}{CA_1}\cdot\frac{AC}{AB_1}\Longleftrightarrow \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot
\frac{CB_1}{B_1A} = 1. Что и требовалось доказать.
Задача 5.20.
Условие
В треугольнике ABC со сторонами AB=4 , BC=6 и AC=9 проведены медиана AM и биссектриса BL . Прямая, проходящая через точку C и точку O пересечения AM и BL , пересекает AB в точке K . Найдите AK .
Решение
5.20 По теореме Чевы \frac{AK}{KB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CL}{LA}=1. По условию BM=MC. Так как BL - биссектриса, то \frac{CL}{LA}=\frac{BC}{AB}\Longleftrightarrow \frac{CL}{LA}=\frac{3}{2} . Тогда \frac{AK}{KB}=\frac{2}{3} . Учитывая, что AK+KB=4 , получаем AK=\frac{8}{5} .
Ответ 1,6 .