Задачи на отношения и подобие Часть 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 5.14.

Условие

В \Delta ABC отрезок AD , проведенный из вершины A к стороне BC , делит последнюю в отношении 2:3 считая от точки B . Из вершины B к стороне AC проведен отрезок BE , который пересекается с отрезком AD в точке Q так, что BQ = 2QE . Найдите, в каком отношении точка E делит сторону AC .

Решение

5.14 Проведем EF\parallel BC . Пусть BD=2x , ВС=3x, BQ=y , QE=y . Обозначим EF=z, AE=m, EC=n . В силу того, что \triangle AEF подобен \triangle AEF , имеем \frac{z}{3x}=\frac{m}{m+n} . В силу того, что \triangle QEF подобен \triangle BQD , имеем \frac{z}{2x}=\frac{y}{2y} . Из последнего отношения получаем z=x , и тогда \frac{m}{n}=\frac{1}{2} .

Ответ \frac{AE}{EC} = 1/2 .

Задача 5.15.

Условие

Точка K лежит на стороне AB , а точка M - на стороне AC \Delta ABC , причем AK : KB = 3:2 , AM:MC =

4:5 . Прямая, проходящая через точку K параллельно BC , пересекает отрезок BM в точке P . Найдите отношение BP:PM .

Решение

5.15 Пусть AK=3x, KB=2x, AM=4y, MC=5y, MQ=z. Тогда по теореме Фалеса \frac{3x}{2x}=\frac{4y+z}{5y-z} , откуда 7y=5z . Далее, \triangle PMQ подобен \triangle BMC : \frac{BM}{PM}=\frac{5y}{z} , откуда с учетом 7y=5z имеем \frac{BM}{PM}=\frac{25}{7} . Так как BM=BP+PM , то \frac{BP}{PM}=\frac{18}{7} .

Ответ \frac{18}{7} .

Пример 5.16.

Условие

Докажите теорему Менелая: пусть прямая пересекает произвольный \Delta ABC , причем C_1 - точка пересечения со стороной AB , A_1 - со стороной BC и B_1 - с прямой AC . Тогда \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot

\frac{CB_1}{B_1A} = 1.

Доказательство

Geom_133 Рис. 5.16.: Теорема Менелая.

Проведем прямую CK \| AB (см. рис. 5.16.).

Мы построили две пары подобных треугольников: \triangle AC_1B_1 \sim \triangle CKB_1 \Longrightarrow

\frac{AC_1}{CK} = \frac{B_1A}{B_1C} \Longrightarrow

CK = \frac{AC_1 \cdot B_1 C}{B_1 A}, \triangle BA_1C_1 \sim \triangle A_1KC \Longrightarrow

\frac{C_1B}{CK} = \frac{BA_1}{A_1C} \Longrightarrow

CK = \frac{C_1B \cdot A_1C}{BA_1}. Исключая из полученных соотношений CK , найдем \frac{AC_1 \cdot B_1 C}{B_1 A} = \frac{C_1B \cdot A_1C}{BA_1}

\Longrightarrow

\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot

\frac{CB_1}{B_1A} = 1, что и требовалось доказать.