Задачи на отношение площадей: Часть 1

Видео

Конспект

Задачи на отношение площадей

В задачах на отношение площадей часто используются следующие утверждения, непосредственно вытекающие из формул для площади треугольника.

Утверждение 6.1 Если треугольники имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований.

Доказательство

Пусть a_1 , h и a_2 , h - основания и высоты первого и второго треугольников соответственно. Для отношения площадей получим \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} a_1 h}{\frac{1}{2} a_2 h} =

\frac{a_1}{a_2}.

Утверждение 6.2 Если треугольники имеют одинаковые углы, то отношение площадей равно отношению произведений сторон, прилежащих к данному углу.

Доказательство

Пусть \gamma - величина рассматриваемого угла в треугольниках, a_1 , b_1 и a_2 , b_2 - прилежащие к нему стороны в первом и втором треугольниках соответственно. Отношение площадей \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} a_1 b_1 \sin \gamma}

{\frac{1}{2} a_2 b_2 \sin \gamma} =

\frac{a_1 b_1}{a_2 b_2}.

Пример 6.1.

Условие

В \Delta ABC на стороне AB взята точка K так, что AK:BK = 1:2 , а на стороне BC взята точка L так, что CL:BL = 2:1 . Пусть точка Q - точка пересечения прямых AL и CK . Найдите площадь \Delta ABC , если дано, что площадь \Delta BQC равна 1 .

Решение

Geom_124 Рис. 6.1.

Пусть AK = a , KB = 2a ; BL = b , LC = 2b . Из формулы для площади треугольника следует, что если треугольники имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований. На рисунке 6.1. \triangle BQK и \triangle BQC имеют одинаковые высоты, проведенные к стороне KC . Отсюда следует, что отношение их площадей равно отношению оснований, то есть \frac{S_{BQK}}{S_{BQC}} = \frac{KQ}{QC}. Таким образом, чтобы найти S_{BQK} нам понадобится отношение \frac{KQ}{QC} . Такая задача уже рассматривалась нами ранее. Для ее решения проведем KE \| BC и рассмотрим две пары подобных треугольников: \triangle KEQ \sim \triangle LQC \Longrightarrow

\frac{KQ}{QC} = \frac{KE}{LC} \Longrightarrow

\frac{KQ}{QC} = \frac{KE}{2b},

\triangle AKE \sim \triangle ABL \Longrightarrow

\frac{KE}{BL} = \frac{AK}{AB} \Longrightarrow

\frac{KE}{b} = \frac{a}{3a} \Longrightarrow

\frac{KE}{b} = \frac{1}{3}, поэтому \frac{KQ}{QC} = \frac{1}{6} . Отсюда S_{BQK} = \frac{1}{6} S_{BQC} = \frac{1}{6} , S_{BKC} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} . Треугольники ABC и BKC имеют общую высоту, опущенную из вершины C , поэтому \frac{S_{ABC}}{S_{BKC}} = \frac{AB}{KB} = \frac{3a}{2a} =

\frac{3}{2} \Longrightarrow

S_{ABC} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{4}.

Ответ \frac{7}{4} .

Задача 6.2.

Условие

Дан \Delta ABC . На стороне AC берется точка K , а на стороне BC - точка M таким образом, что \frac{CK}{KA} = 5,~~ \frac{S_{KMC}}{S_{AKMB}} = \frac{5}{6}. Найдите CM:MB .

Решение

6.2 Пусть S_{AKMB}=6y;\quad S_{KMC}=5y . Тогда S_{ABC}=11 y . Значит, отношение площадей \frac{S_{KMC}}{S_{ABC}}=\frac{5}{11} . Учитывая, что S_{KMC}=\frac{1}{2} MC\cdot KC\cdot \sin \alpha , а S_{ABC}=\frac{1}{2} AC\cdot BC\cdot \sin \alpha , то \frac{S_{KMC}}{S_{ABC}}=\frac{ MC\cdot KC\cdot \sin \alpha} {AC\cdot BC\cdot \sin \alpha}\Longleftrightarrow\frac{5}{11}=\frac{MC\cdot KC}{AC\cdot BC}. Теперь обозначим AK=x , тогда KC=5x \quad AC=6x . Значит, \frac{MC}{BC}=\frac{5}{11}\cdot \frac{6}{5}=\frac{6}{11} . Тогда \frac{CM}{MB}=\frac{6}{5}.

Ответ \frac{6}{5} .