Задачи на отношение площадей: Часть 2
Математика, 9 класс
Пример 6.3. Условие В \triangle ABC проведены медианы AK и BL , пересекающиеся в точке O . На медиане BL взята точка D так, что \frac{BD}{DL} = \frac{2}{5} , а на медиане AK - точка E так, что \frac{A...
Видео
Конспект
Пример 6.3.
Условие
В \triangle ABC проведены медианы AK и BL , пересекающиеся в точке O . На медиане BL взята точка D так, что \frac{BD}{DL} =
\frac{2}{5} , а на медиане AK - точка E так, что \frac{AE}{EK} =
\frac{7}{3} . Найдите площадь \triangle DOE , если площадь \triangle
ABC равна 1 .
Решение
Geom_142 Рис. 6.2.
Пусть AE = 7b , EK = 3b , BD = 2a , DL = 5a (cм. рис. 6.2.). Поскольку три медианы делят треугольник на шесть равновеликих, то S_{BOK} = \frac{1}{6}S{ABC} = \frac{1}{6} . Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении \frac{2}{1} , считая от вершины, то BO = \frac{2}{3} BL = \frac{2}{3}\cdot 7a = \frac{14}{3} a~~\Longrightarrow~~ DO = BO - BD = \frac{14}{3} a - 2a = \frac{8}{3} a, OK = \frac{1}{3} AK = \frac{1}{3}\cdot 10b = \frac{10}{3} b \Longrightarrow
OE = OK \hskip-0.75mm - \hskip-0.5mm KE = \frac{10}{3} b - 3b = \frac{1}{3} b. Рассмотрим отношение площадей треугольников DOE и BOK : \frac{S_{DOE}}{S_{BOK}} = \frac{\frac{1}{2}DO \cdot OE \cdot \sin \angle BOK}
{\frac{1}{2}BO \cdot OK \cdot \sin \angle BOK} =
\frac{\frac{8}{3} a \cdot \frac{1}{3} b}{\frac{14}{3} a \cdot \frac{10}{3} b} =
\frac{2}{35}. Отсюда получаем S_{DOE} = \frac{2}{35} S_{BOK} = \frac{2}{35} \cdot \frac{1}{6} =
\frac{1}{105} .
Ответ \frac{1}{105} .
Задача 6.4.
Условие
На продолжении стороны AB \Delta ABC за точку B отложен отрезок AD так, что AD:AB = \alpha . На продолжении медианы BE отложен отрезок EF так, что EF:BE =
\beta . Найдите \frac{S_{BDF}}{S_{ABC}} .
Решение
6.4 Сначала отметим, что S_{ABE}=\frac{1}{2}S_{ABC} . Соединим точки A и F . \frac{S_{BDF}}{S_{ABF}}=\frac{BD}{AB} , так как у треугольников одинаковая высота, опущенная из точки F . Если AB=a , то AD=\alpha\cdot a, \quad BD=(\alpha-1)a . S_{BDF}=S_{ABF}\cdot \frac{BD}{AB}=S_{ABF}(\alpha-1) . Далее, аналогично получаем, что \frac{S_{ABF}}{S_{ABE}}=\frac{BF}{BE} . Пусть BE=b, тогда EF=\beta b, \quad BF=(\beta+1)b . S_{BDF}=\S_{ABF}(\beta+1)=\frac{S_{ABC}}{2}(\beta+1)(\alpha-1).
Ответ \frac{1}{2} (\alpha - 1)(\beta + 1) .