Равнобедренные треугольники: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 4.5.

Условие

В окружность радиуса R вписан равнобедренный \Delta ABC (AB = BC) с \angle BAC = \alpha . Найдите радиус окружности, вписанной в \Delta ABC .

Geom_136 Рис. 4.3.

Решение

Для того, чтобы найти радиус вписанной окружности, воспользуемся тем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (см. рис. 4.3). Найдем стороны треугольника.

Пусть AB=BC=a . Тогда по теореме синусов \frac{a}{\sin \alpha}=2R , откуда a = 2R\sin \alpha . Рассмотрев \triangle ABD , найдем AD = a \cos \alpha . Из \triangle AOD получим OD = AD tg \frac{\alpha}{2} = a \cos \alpha tg \frac{\alpha}{2} =

2R\sin \alpha \cos \alpha tg \frac{\alpha}{2} =

R \sin 2\alpha tg \frac{\alpha}{2}.

Ответ R \sin 2\alpha tg \frac{\alpha}{2} .

Задача 4.6.

Условие

В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга составляет 0,3 его высоты, проведенной к основанию, а периметр треугольника равен 80. Найдите меньшую сторону треугольника.

Решение

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны b , а основание равно a . тогда периметр треугольника P=a+2b=80 . Пусть высота треугольника равна h , радиус вписанного круга равен r . Площадь треугольника S=\frac{ah}{2} , радиус вписанного круга равен r=\frac{S}{\frac{P}{2}}=\frac{ha}{P} . Тогда 0,3h=\frac{ha}{P} , откуда a =0,3P=24,~ b=\frac{80-24}{2}=28. Значит, меньшая сторона 24.

Ответ 24.