Равнобедренные треугольники: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 4.7.

Условие

В \Delta ABC прямые, содержащие высоты AP , CR и BQ (точки P , R и Q лежат на прямых, содержащих соответствующие стороны \Delta ABC ), пересекаются в точке O . Найдите площади \Delta ABC и \Delta POC , если известно, что RP параллельно AC , AC = 4 и \sin \angle ABC = \frac{24}{25} .

Решение

Рассмотрим случай, когда \angle ABC=\alpha - острый (рис. 4.4.), \cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{24^2}{25^2}} = \frac{7}{25} . Докажем, что \triangle ABC - равнобедренный. Действительно, \triangle CRB\sim \triangle APB как прямоугольные треугольники с общим углом ABC . Тогда \frac{BR}{BP}=\frac{BC}{AB}. Аналогично, из подобия треугольников \triangle BRP и \triangle ABC следует \frac{BR}{BP}=\frac{AB}{BC}. Отсюда AB=BC , то есть треугольник ABC равнобедренный, откуда AQ=QC=2 . Найдем площадь S_{\triangle ABC} : S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB\cdot BC \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} AB^2\cdot \sin \alpha .

Geom_168 Рис. 4.4.

Найдем AB . AB=\frac{AQ}{\sin \frac{\alpha}{2}}, где \sin\frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}= \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}}=\frac{3}{5}, откуда AB=\frac{10}{3} . Тогда S_{ABC} = \frac{16}{3} .

Найдем S_{POC}=S_{APC}-S_{AOC} . AP=AC \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2} \right) = AC\cdot \frac{4}{5}=\frac{16}{5};

PC=AC \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) = AC\cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5}. Тогда S_{APC} = \frac{96}{25} . Далее, \angle RCQ=\frac{\alpha}{2} . OQ=QC\cdot tg \frac{\alpha}{2}=2 \cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}. Отсюда S_{AOC}=\frac{OQ \cdot AC}{2}=3 \Longrightarrow S_{OPC}=\frac{96}{25}-3=\frac{21}{25}. Случай тупоугольного треугольника предлагается рассмотреть самостоятельно в качестве упражнения.

Ответ \frac{16}{3} и \frac{21}{25} или 3 и \frac{112}{75} .

В конце раздела решим еще несколько задач для равнобедренных треугольников.

Задача 4.8.

Условие

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C , а на другой - точки A и B , причем треугольник ABC - остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Радиус вписанной окружности равен r=\frac{S}{p} , где S - площадь треугольника, p - полупериметр. Рассмотрим два случая расположения треугольника, см. рисунок. В первом случае основание AB равнобедренного треугольника ACB лежит на одной из параллельных прямых. Тогда высота треугольника CD равна 12, боковая сторона AC=13 , а основание AB=2\sqrt {169-144}=10 . Площадь треугольника равна 60, полупериметр равен 18, r=\frac{10}{3} . Во втором случае боковая сторона лежит на одной из параллельных прямых, AC=AB , высота треугольника CD=12 . Тогда AD=\sqrt{13^2-12^2}=5 , DB=8 , CB=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13} . В этом случае площадь треугольника S=\frac{CD\cdot AB}{2}=78 , p=13+\sqrt{13} . Тогда r=\frac{78}{13+\sqrt{13}}=\frac{26-4\sqrt{13}}{3}.

Ответ \frac{10}{3} или \frac{26-4\sqrt{13}}{3} .