Равнобедренные треугольники: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 4.9.

Условие

В равнобедренном треугольнике с основанием AC проведена биссектриса \angle C , которая пересекает боковую сторону AB в точке D . Точка E лежит на основании AC так, что DE \bot DC . Найдите длину AD , если CE = 2 .

Решение

4.9 Обозначим \angle DAE=2\alpha , тогда \angle DCE=\alpha , DE=CE\cdot \sin\alpha=2\sin \alpha . Угол \angle DEA является внешним к треугольнику DEC и равен \frac{pi}{2}+\alpha . Запишем теорему синусов для \triangle DAE : \frac{AD}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{DE}{\sin 2\alpha}\Longleftrightarrow \frac{AD}{\cos \alpha}=\frac{2\sin\alpha}{2\sin \alpha\cos\alpha}\Longleftrightarrow AD=1.

Ответ 1.

Задача 4.10.

Условие

Из точки, расположенной внутри правильного треугольника ABC , опущены перпендикуляры на стороны треугольника, которые равны m , n и k . Пусть h - высота треугольника. Докажите, что m + n + k = h .

Доказательство

4.10 Пусть точка внутри треугольника P , а перпендикуляры, опущенные на стороны равностороннего треугольника суть PM=m, ~PN=n,~ PK=k . Запишем площадь треугольника ABC двумя способами, обозначив AB=a , а высоту треугольника h : S=\frac{ah}{2}; S=S_{APB}+S_{BPC}+S_{APC}=\frac{am}{2}+ \frac{an}{2}+\frac{ak}{2}. Из равенства площадей получаем, что h=m+n+k .

Задача 4.11.

Условие

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4 . Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

Решение

Пусть основание равнобедренного треугольника ABC равно a , боковые стороны равны b , площадь равна S , радиус вписанного круга r . Тогда \left\{ {\begin{array}{l}

r=\frac{ah}{a+2b}, \\

b^2-\frac{a^2}{4}=h^2,\\

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

4=\frac{a\cdot 9}{a+2b}, \\

b^2-\frac{a^2}{4}=81.\\

\end{array}} \right. решаем эту систему и находим a=24 , b=15 .

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, есть вневписанная окружность. Радиус окружности, касающийся основания, равен \frac{S}{\frac{a+2b}{2}-a}=\frac{108}{27-24}=36 . Радиус окружности, касающийся боковой стороны, равен \frac{S}{\frac{a+2b}{2}-b}=\frac{108}{27-15}=9 .

Ответ 36 или 9 .

Задачи повышенной сложности

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Докажите, что и биссектриса равна основанию.

Докажите теорему Штейнера - Лемуса: если в треугольнике равны биссектрисы двух внутренних углов, то треугольник равнобедренный.