Медиана и биссектриса: Часть 4
Математика, 9 класс
Пример 2.10. Условие Биссектрисы MA и LB в треугольнике LMN пересекаются в точке O , LM=4 , MN=5 и LN=6 . Найдите OB . Решение Geom_149 Рис. 2.6. Для того, чтобы найти OB (см. рис. 2.6.), найдем снача...
Видео
Конспект
Пример 2.10.
Условие
Биссектрисы MA и LB в треугольнике LMN пересекаются в точке O , LM=4 , MN=5 и LN=6 . Найдите OB .
Решение
Geom_149 Рис. 2.6.
Для того, чтобы найти OB (см. рис. 2.6.), найдем сначала LB , а потом, так как в MO есть биссектриса в треугольнике LMB , получим соотношение \frac{OB}{LB-OB}=\frac{MB}{LM}.
MB легко найти, пользуясь тем же свойством биссектрисы, но записанным для биссектрисы LB : \frac{MB}{MN-MB}=\frac{LM}{LN}\Longleftrightarrow \frac{MB}{5-MB}=\frac{4}{6}\Longleftrightarrow MB=2. Воспользуемся полученной выше формулой для биссектрисы: LB^2=LM\cdot LN-MB\cdot BN \Longleftrightarrow LB^2=4\cdot6-2\cdot 3=18. И, окончательно, подставляя в полученное выше соотношение значение LB=3\sqrt{2} , имеем \frac{OB}{3\sqrt{2}-OB}=\frac{2}{4} \Longleftrightarrow OB=\sqrt{2}.
Ответ \sqrt{2} .
Задача 2.11.
Условие
В треугольнике BCD BC=7 , CD=3 , BD=5 . Биссектрисы CM и DN пересекаются в точке O . Найдите OM .
Решение
2.11 В силу того, что CM - биссектриса, из треугольника BCD получаем \frac{DM}{MB}=\frac{DC}{CB}\Longleftrightarrow \frac{DM}{5-DM}=\frac{3}{7}\Longleftrightarrow DM=\frac{3}{2}. В силу того, что DN - биссектриса, из треугольника DCM получаем \frac{CO}{OM}=\frac{DC}{DM} , откуда \frac{CO}{OM}=2 . Найдем длину биссектрисы CM : CM^2=3\cdot 7-\frac{3}{2}\cdot \frac{7}{2}=\frac{9}{4}\cdot 7 . Отсюда \frac{CO}{OM}=2\Longleftrightarrow\frac{\frac{3}{2}\sqrt 7-OM}{OM}=2\Longleftrightarrow OM=\frac{\sqrt 7}{2}.
Ответ \frac{\sqrt{7}}{2} .
Задача 2.12.
Условие
Пусть O - точка пересечения биссектрис углов B и C треугольника ABC . Докажите, что \angle BOC = \frac{\angle A}{2} + \frac{\pi}{2}.
Доказательство
2.12 \frac{\angle B}{2}+\frac{\angle C}{2}+\alpha=\pi , где \alpha=\angle BOC . \angle A=\pi-\left(\angle B+\angle C\right)=\pi-2(\pi-\alpha). Отсюда \alpha=\frac{\angle A+\pi}{2} .
Задача 2.13.
Условие
В треугольнике высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части. Найдите углы треугольника.
Решение
2.13 Пусть BH - высота, BM - медиана, и \angle ABH=\angle HBM=\angle MBC =\alpha . В \triangle ABM BH является одновременно высотой и биссектрисой, поэтому этот треугольник равнобедренный. Следовательно, AH=HM , тогда MC=2HM . Но в треугольнике \triangle HBC BM - биссектриса, поэтому BH:BC=HM:MC\Longrightarrow BH:BC=1:2 . Таким образом, в прямоугольном треугольнике HBC катет BH в два раза меньше гипотенузы BC , значит, \angle BCH=30^{\circ} . Тогда \angle HBC=60^{\circ} , а он равен \frac{2}{3} угла B . Значит, \angle B=90^{\circ} , \angle A=60^{\circ} .
Ответ 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} .