Медиана и биссектриса: Часть 2
Математика, 9 класс
Задача 2.3. Условие Докажите, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади) треугольников. Geom_171 Рис. 2.2. Доказательство 2.3 Проведем медианы AA_1 , BB_1 , CC_1 , котор...
Видео
Конспект
Задача 2.3.
Условие
Докажите, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади) треугольников.
Geom_171 Рис. 2.2.
Доказательство
2.3 Проведем медианы AA_1 , BB_1 , CC_1 , которые пересекаются в точке O (рис. 2.2). В треугольнике AOC отрезок OB_1 является медианой, и по свойству медианы площади треугольников AOB_1 и COB_1 ( медиана делит треугольник на два равновеликих). Обозначим эти площади S_1 . Аналогично S_{AOC_1}=S_{BOC_1}=S_2 и S_{BOA_1}=S_{COA_1}=S_3 . Учитывая, что медиана BB_1 делит \triangle ABC на два равновеликих, получаем S_1+S_2+S_2=S_1+S_3+S_3\Longleftrightarrow S_2=S_3. Аналогично доказываем, что S_1=S_2 . Утверждение доказано.
Пример 2.4.
Условие
Найдите площадь \Delta ABC , если AC = 3 , BC = 4 , а медианы AK и BL взаимно перпендикулярны.
Решение
Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, поэтому удобно обозначить OK=x , AO=2x , OL=y , BO=2y (см. рис. 2.3).
Медианы взаимно перпендикулярны, отсюда треугольники BOK и AOL - прямоугольные. По теореме Пифагора получаем систему уравнений: \left\{ {\begin{array}{l}
4x^2 + y^2 = \frac{9}{4}, \\
x^2+ 4y^2 = 4. \\
\end{array}} \right.
Geom_90 Рис. 2.3.
Умножим первое уравнение на 4 и вычтем второе уравнение из первого: \left\{ {\begin{array}{l}
16x^2 + 4y^2 = 9, \\
x^2+ 4y^2 = 4, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
16x^2 + 4y^2 = 9, \\
15x^2 = 5, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = \frac{9}{4}, \\
x^2 = \frac{1}{3}, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
y^2 = \frac{11}{12}, \\
x^2 = \frac{1}{3}. \\
\end{array}} \right. Медианы, как показано выше, делят треугольник на шесть равновеликих. Следовательно, S_{ABC}=6S_{BOK}=6\frac{2y\cdot x}{2}=6\sqrt{\frac{11}{12}\cdot \frac{1}{3}}=\sqrt{11}.
Ответ \sqrt{11} .
Задача 2.5.
Условие
В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN . Найдите площадь треугольника ABC , если длина AM=3 , а длина BN=4 .
Решение
2.5 В отличие от рассмотренного выше примера, здесь уже даны длины медиан. Тогда, учитывая, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих, а также тот факт, что медианы точеой пересечения делятся в отношении 2:1, получаем S_{\triangle ABC}= 6 \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}AM\cdot\frac{1}{3}BN=6 \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 3\cdot\frac{1}{3}\cdot 4=8.
Ответ 8.
Задача 2.6.
Условие
Медиана BM треугольника ABC равна его высоте AH . Найдите угол MBC .
Решение
2.6 Найдем площадь \triangle MBC двумя способами. С одной стороны, так как медиана делит треугольник на два равновеликих, S_{ MBC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{4}AH\cdot. BC С другой стороны, S_{ MBC}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot BC\sin MBC. Приравнивая эти площади и учитывая, что BM=AH , получаем, что \sin MBC=\frac{1}{2} . Значит, искомый угол либо 30^\circ , либо 150^\circ .
Ответ 30^\circ или 150^\circ .