Медиана и биссектриса: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 2.7.

Условие

В треугольнике основание равно 60, а высота и медиана, проведенные к нему - 12 и 13. Найдите большую боковую сторону.

Решение

2.7 Проведем в треугольнике ABC высоту BH=12 и медиану BM=13 к основанию AC=60 . Из прямоугольного \triangle BHM получаем, что HM=5 . Тогда HC=HM+MC=HM+\frac{AC}{2}=5+30. А из прямоугольного \triangle BHC имеем BC^2=BH^2+HC^2=12^2+35^2=37^2.

Ответ 37.

Биссектриса треугольника

Geom_87 Рис. 2.4.: Биссектриса треугольника

Получим три формулы для длины биссектрисы треугольника.

Пример 2.8.

Условие

В треугольнике ABC стороны BC , AC и AB равны a , b , c соответственно. Найдите длину l биссектрисы AD , проведенной к стороне BC .

Решение

Для того, чтобы найти биссектрису треугольника, выразим площадь треугольника ABC (см. рис. 2.4.) двумя способами, воспользовавшись одной из приведенных выше формул площади треугольника: с одной стороны, S_{ABC}=\frac{1}{2} bc\sin A , с другой стороны, S_{ABC}=\frac{1}{2} b\cdot l \sin {\frac{A}{2}}+\frac{1}{2} c\cdot l \sin {\frac{A}{2}} . Тогда \begin{array}{l}

\frac{1}{2} bc\sin A=\frac{1}{2} b\cdot l \sin {\frac{A}{2}}+\frac{1}{2} c\cdot l \sin {\frac{A}{2}}\Longleftrightarrow\\

\Longleftrightarrow bc\sin A=(b+c)l \sin{

\frac{A}{2}}\Longleftrightarrow

l=\frac{2bc}{b+c}\cos{\frac{A}{2}} .

\end{array}

Эта формула первая из трех искомых. Однако в данном случае требуется найти биссектрису по трем сторонам, поэтому выразим \cos{\frac{A}{2}} через длины сторон треугольника. Для этого преобразуем \cos{\frac{A}{2}} по формуле косинуса половинного угла через \cos{A} , а его - по теореме косинусов через a, b, c . Тогда a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \Longleftrightarrow a^2=b^2+c^2-2bc \left(2\cos^2{\frac{A}{2}}-1 \right), откуда \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc} . Подставляя полученное выражение для косинуса половинного угла в формулу для биссектрисы, получаем вторую формулу для биссектрисы угла треугольника: l=\frac{2bc}{b+c}\cos{\frac{A}{2}}\Longleftrightarrow l=\frac{2bc\sqrt{(b+c)^2-a^2}}{2\sqrt{bc}(b+c)}\Longleftrightarrow l = \frac{\sqrt{bc(b + c - a)(b + c + a)}}{b + c}.

Ответ \frac{\sqrt{bc(b + c - a)(b + c + a)}}{b + c} .

Получим теперь третью формулу, которую легче запомнить, чем предыдущие.

Пример 2.9.

Условие

Докажите формулу l^2 =b c-a_b a_c , где l - биссектриса AD угла A в треугольнике ABC ; b и c - длины сторон треугольника AC и AB соответственно; a_b и a_c - длины отрезков, на которые биссектриса угла A делит сторону BC .

Доказательство

Запишем теорему косинусов для треугольников CAD и BAD (см. рис. 2.4.): \left\{ {\begin{array}{l}

a_c^2=c^2+l^2-2c\cdot l\cos{\frac{A}{2}}, \\

a_b^2=b^2+l^2-2b\cdot l\cos{\frac{A}{2}}.

\end{array}} \right. Умножим первое уравнение системы на b , а второе - на c и вычтем второе уравнение из первого. Получаем a_c^2b-a_b^2c=c^2b+l^2b-b^2c-l^2c\Longleftrightarrow l^2(b-c)=a_c^2b-a_b^2c+b^2c-c^2b. Из утверждения 5(с) для биссектрисы треугольника следует, что \frac{a_c}{a_b}=\frac{c}{b}\Longleftrightarrow

a_cb=a_bc . Тогда \begin{array}{l}

l^2(b-c)=a_c^2b-a_b^2c+b^2c-c^2b\Longleftrightarrow \\

l^2(b-c)=(a_cb)a_c-(a_bc)a_b+bc(b-c)\Longleftrightarrow \\

l^2(b-c)=(a_bc)a_c-(a_cb)a_b+bc(b-c)\Longleftrightarrow \\

l^2(b-c)=a_ba_c(c-b)+bc(b-c).

\end{array} Предполагая, что c\ne b , делим обе части соотношения на b-c и получаем искомую формулу. (Если b=c , то формула тоже верна, доказывается по теореме Пифагора.)

Приведем другое доказательство, которое несколько короче, но в нем используются свойства еще не рассмотренных нами вписанных в окружность углов и хорд окружности, которые будут рассмотрены в разделе <<Окружности>>.

Пусть в треугольнике ABC , вписанном в окружность, проведена биссектриса AK , которая продолжена до пересечения с окружностью в точке D (рис. 2.5.). Тогда, во-первых, по свойству хорд AD\cdot DK = BD\cdot DC.

Geom_156 Рис. 2.5.

Во-вторых треугольники ABD и AKC подобны по двум углам ( \angle ABC = \angle AKC , так как они опираются на одну дугу, и \angle BAD=\angle KAC , так как AD - биссектриса). Из подобия получаем \frac{AK}{AB}=\frac{AC}{AD}. Обозначим для удобства AB=c ; AC=b ; AD=l ; KD=k ; BD=a_c ; DC=a_b . Тогда из полученных выше соотношений имеем \left\{ {\begin{array}{l}

l\cdot k=a_c \cdot a_b,\\

\frac{l+k}{c}=\frac{b}{l},

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

l\cdot k=a_c \cdot a_b,\\

l \cdot k=bc-l^2,

\end{array}} \right. \Longleftrightarrow\\

l^2=bc-a_b \cdot a_c.