Прямолинейное движение Часть 2: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 2.12

Условие

Лыжнику необходимо было пробежать расстояние 30 км. Начав бег на 3 минуты позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, большей предполагавшейся на 1 км/ч, и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.

Решение

Пусть скорость лыжника по плану равна v км/ч, а время движения по плану на участке длиной 30 км равно t ч. Фактическая скорость лыжника составила (v+1) км/ч, а фактическое время на 3 минуты, то есть на \frac{3}{60}=\frac{1}{20} часа меньше, чем время по плану. Для удобства эти данные можно записать в таблицу.

v , км/ч

t , ч

S , км

по расписанию

v

t

30

по факту

v+1

t-\frac{1}{20}

30

Составим систему из двух уравнений: \left\{\begin{array}{l}

vt = 30, \\

(v + 1) \left(t - \frac{1}{20} \right) = 30.

\end{array}\right. Выражая время движения по расписанию из первого уравнения и подставляя во второе, получаем уравнение для скорости: \frac{30}{v} - \frac{1}{20} v - \frac{1}{20} = 0. Это уравнение сводится к квадратному уравнению v^2 + 1v - 600 = 0. Решая его, найдем корни \left[\begin{array}{l}

v = 24, \\

v = - 25.

\end{array} \right. Выбираем естественно, только положительный корень. Тогда фактическая скорость, с которой бежал лыжник, составила v+1=24+1=25 км/ч.

Ответ 25 км/ч.

Задача 2.13

Условие

Автомобиль проходит расстояние от пункта A до пункта B с постоянной скоростью. Если бы он увеличил скорость на 6 км/ч, то затратил бы на прохождение пути на 4 часа меньше, а со скоростью, меньшей начальной на 6 км/ч, он потратил бы на 6 часов больше. Найдите расстояние между пунктами A и B .

Решение

Пусть начальная скорость автомобиля равна v км/ч, предполагаемое время движения t ч, а расстояние между пунктами A и B равно l км. Расстояние l=v\cdot t , и это же расстояние автомобиль мог бы проехать со скоростью (v + 6) км/ч за время (t-4) часа, или же со скоростью (v - 6) км/ч за время (t+6) часов. Составим систему из двух уравнений: \left\{\begin{array}{l}

(v + 6) (t - 4)=vt, \\

(v - 6) (t + 6)=vt.

\end{array}\right. Раскрывая скобки и складывая полученные уравнения, исключаем t и получаем v=30 км/ч. Подставляя найденное значение v , например, в первое уранение, находим t=24 . Тогда искомое расстояние l=v\cdot t=30 \cdot 24=720 км.

Ответ 720 км.

Задача 2.14

Условие

На 60 км пути велосипедист тратит на 4 ч больше, чем мотоциклист. Если же он увеличит скорость на 3 км/ч, то на тот же путь потратит в 4 раза больше времени, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.

Решение

Пусть начальная скорость велосипедиста равна v км/ч, скорость мотоциклиста равна w км/ч. Пусть время, за которое велосипедист проедет 60 км, равно t ч, тогда время, за которое мотоциклист проедет то же расстояние, будет равно (t-4) ч. Если скорость велосипедиста будет равна (v+3) км/ч, то те же 60 км он проедет за время 4(t-4) ч. Для удобства эти данные можно записать в таблицу.

v , км/ч

t , ч

S , км

велосипедист

v

t

60

мотоциклист

w

t-4

60

велосипедист (2)

v+3

4(t-4)

60

Составим систему уравнений:

\left\{\begin{array}{l}

vt=60, \\

w\cdot (t - 4)=60, \\

(v +3)\cdot 4(t -4)=60.

\end{array}\right. Выражая время движения t из первого уравнения и подставляя в третье, получаем уравнение для скорости: 33+\frac{3\cdot 60}{v} - 4 v = 0. Это уравнение сводится к квадратному уравнению 4v^2 -33v - 180 = 0. Тогда D=33^2+4\cdot 4\cdot180=3969=63^2 . Найдем корни \left[\begin{array}{l}

v = 12, \\

v = - \frac{30}{8}.

\end{array} \right. В ответ, естественно, записываем только положительный корень.

Ответ 12 км/ч.