Прямолинейное движение Часть 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.7

Условие

Два поезда, содержавшие по 15 одинаковых вагонов каждый, двигались навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через 28 секунд после встречи их первых вагонов пассажир Саша, сидя в купе третьего вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Валерой, а еще через 32 секунды последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Валера?

Решение

Два встречных поезда разъехались за t=28+32=60 (с). В поездах по 15 вагонов. Можно считать, что один поезд стоит, а другой движется относительно первого со скоростью, равной сумме их скоростей. За время t=60 с первый поезд пройдет относительно второго расстояние, равное сумме их длин, то есть расстояние, равное длине 30 вагонов. Таким образом, мы можем считать, что относительно второго поезда первый движется со скоростью 30 вагонов за 60 секунд, или 1 вагон за 2 секунды. Тогда через 28 секунд после встречи первых вагонов поездов мимо начала первого вагона первого поезда проедут 14 вагонов второго, напротив первого вагона первого поезда будет 14-й вагон второго, а напротив третьего вагона первого поезда, в котором сидел Саша, вагон второго поезда с номером 14-(3-1)=12 . Отметим, что результат не зависит от того, в каком именно поезде сидел Саша.

Ответ в 12-м вагоне.

Задача 2.8

Условие

Два поезда, содержавшие по 16 одинаковых вагонов каждый, двигались навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через 24 секунды после встречи их первых вагонов пассажир Миша, сидя в купе второго вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Игорем, а еще через 40 секунд последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Игорь?

Решение

Два встречных поезда разъехались за t=24+40=64 (с). В поездах по 16 вагонов. Можно считать, что один поезд стоит, а другой движется относительно первого со скоростью, равной сумме их скоростей. За время t=64 с первый поезд пройдет относительно второго расстояние, равное сумме их длин, то есть расстояние, равное длине 32 вагона. Таким образом, мы можем считать, что относительно второго поезда первый движется со скоростью 32 вагона за 64 секунды, или 1 вагон за 2 секунды. Тогда через 24 секунды после встречи первых вагонов поездов мимо начала первого вагона первого поезда проедут 12 вагонов второго, напротив первого вагона первого поезда будет 12-й вагон второго, а напротив второго вагона первого поезда, в котором сидел Миша, вагон второго поезда с номером 12-(2-1)=11 . Результат не зависит от того, в каком именно поезде сидел Миша.

Ответ в 11-м вагоне.

Задача 2.9

Условие

Пройдя 0,4 длины узкого моста, пешеход заметил, что сзади к мосту приближается машина. Тогда он пошел назад и встретился с машиной у начала моста. Если бы пешеход продолжал идти вперед, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скорости машины к скорости пешехода.

Решение

Пусть скорость пешехода равна v , скорость автомобиля w . Требуется найти отношение \frac{w}{v} . Пусть l длина моста. Время, за которое пешеход вернулся к началу моста, равно t=\frac{0,4 l}{v} . Тогда расстояние, которое проехал автомобиль до встречи с пешеходом в начале моста S=w\cdot t=\frac{0,4 l\cdot w}{v} . Если бы пешеход продолжил движение вперед, то время до встречи с автомобилем в конце моста было бы t_2=\frac{0,6 l}{v} , а автомобиль бы за это время проехал расстояние S_1=\frac{0,6 l\cdot w}{v} , которое, в свою очередь, равно сумме расстояния S и длины моста l . Таким образом, мы получаем уравнение \frac{0,6 l\cdot w}{v}=\frac{0,4 l\cdot w}{v}+l. Поделим уравнение на положительную величину l и приведем подобные слагаемые, получим 0,2 \cdot\frac{w}{v}=1 , или \frac{w}{v}=5 .

Ответ 5 .

Задача 2.10

Условие

Турист Федор с тяжелым грузом шел по тропе к месту привала и прошел уже 0,3 пути, когда идущий сзади турист Денис окликнул его. Федор решил, что Денис просит его вернуться, пошел назад и встретил Дениса в начале тропы. Оказалось, что Денис просто хотел узнать, который час. Возмущенный Федор сказал, что если бы он не вернулся, то Денис догнал бы его только у места привала. Во сколько раз нагруженный Федор двигался медленнее идущего налегке Дениса?

Решение

Пусть скорость Федора равна v , скорость Дениса w . Требуется найти отношение \frac{w}{v} . Пусть l длина тропы. Время, за которое Федор вернулся к началу тропы, равно t=\frac{0,3 l}{v} . Тогда расстояние, которое прошел Денис до встречи с Федором в начале тропы S=w\cdot t=\frac{0,3 l\cdot w}{v} . Если бы Федор продолжил движение вперед, то время до встречи с Денисом в конце тропы (у места привала) было бы t_2=\frac{0,7 l}{v} , а Денис бы за это время прошел расстояние S_1=\frac{0,7 l\cdot w}{v} , которое, в свою очередь, равно сумме расстояния S и длины тропы l . Таким образом, мы получаем уравнение \frac{0,7 l\cdot w}{v}=\frac{0,3 l\cdot w}{v}+l. Поделим уравнение на положительную величину l и приведем подобные слагаемые, получим 0,4 \cdot\frac{w}{v}=1 , или \frac{w}{v}=2,5 .

Ответ 2,5 .

Часто в задачах требуется определить параметры движения объекта, исходя из известных изменений в движении по причине остановок, нарушения расписания и т.д. Рассмотрим примеры таких задач.

Задача 2.11

Условие

Скорый поезд был задержан у семафора на 16 минут и ликвидировал опоздание на перегоне 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч больше, чем по расписанию. Определите скорость поезда по расписанию.

Решение

Пусть скорость движения поезда по расписанию равна v км/ч, а время движения по расписанию на перегоне 80 км равно t ч. Фактическая скорость поезда составила (v+10) км/ч, а фактическое время на 16 минут, то есть на \frac{16}{60}=\frac{4}{15} часа меньше, чем время по расписанию. Для удобства эти данные можно записать в таблицу.

v , км/ч

t , ч

S , км

по расписанию

v

t

80

по факту

v+10

t-\frac{4}{15}

80

Составим систему из двух уравнений: \left\{\begin{array}{l}

vt = 80, \\

(v + 10) \left(t - \frac{16}{60} \right) = 80.

\end{array}\right. Выражая время движения по расписанию из первого уравнения и подставляя во второе, получаем уравнение для скорости: \frac{800}{v} - \frac{4}{15} v - \frac{40}{15} = 0. Это уравнение сводится к квадратному уравнению v^2 + 10v - 3000 = 0. Решая его, найдем корни \left[\begin{array}{l}

v = 50, \\

v = - 60.

\end{array} \right. В ответ, естественно, записываем только положительный корень.

Ответ 50 км/ч.