шишкина_семинар 6

Задача 5 Условие Лазерные трубки объемом $V_0 = 60~cм^3$ должны заполняться смесью гелия и неона в молярном отношении $k = 5:1$ соответственно при общем давлении в трубке $p_0 = 800$ Па. Имеются баллоны с этими газами, каждый объемом $V = 2$ л. Давление в баллоне с гелием $p_1 = 6670$ Па, в баллоне с неоном $p_2 = 2670$ Па. Какое число лазерных трубок можно заполнить этим количеством газа? Считать, что газ из любого баллона может быть использован полностью. Решение Пусть в одной лазерной трубке находится $\vartheta_{10}$ молей гелия и $\vartheta_{20}$ молей неона. По закону Дальтона можно записать: $$ p_0 = \frac{\vartheta_{10} R T}{V_0} + \frac{\vartheta_{20} R T}{V_0}. $$ С другой стороны, согласно условию $\vartheta_{10} = k \vartheta_{20}$, тогда: $$ p_0 = (k + 1) \frac{\vartheta_{20} R T}{V_0} \implies \vartheta_{20} = \frac{p_0 V_0}{(k + 1) R T} \quad и \quad \vartheta_{10} = \frac{k p_0 V_0}{(k + 1) R T}. $$ Количество молей гелия $\vartheta_1$ и неона $\vartheta_2$ в баллонах можно найти из закона Менделеева-Клапейрона для каждого баллона: $$ \vartheta_1 = \frac{p_1 V}{R T} \quad и \quad \vartheta_2 = \frac{p_2 V}{R T}. $$ Значит, имеющегося количество гелия хватит на: $$ N_{г} = \frac{\vartheta_1}{\vartheta_{10}} = \frac{(k + 1) p_1 V}{k p_0 V_0} = \frac{6 \cdot 6670 Па \cdot 2 \cdot 10^{-3} м^3}{5 \cdot 800 Па \cdot 60 \cdot 10^{-6} м^3} = 333{,}5 трубки; $$ а имеющегося неона хватит на: $$ N_{н} = \frac{\vartheta_2}{\vartheta_{20}} = \frac{(k + 1) p_2 V}{p_0 V_0} = \frac{6 \cdot 2670 Па \cdot 2 \cdot 10^{-3} м^3}{800 Па \cdot 60 \cdot 10^{-6} м^3} = 667{,}5 трубок. $$ Поскольку изготовить можно только целиком заполненные трубки, то имеющимся количеством газа можно заполнить всего $333$ трубки. При этом останется совсем немного гелия и достаточно много неона. Задача 6 Условие Теплоизолированный сосуд разделен неподвижной перегородкой на части объемами $V_1$ и $V_2$. В первую поместили $\vartheta_1$ молей атомарного газа одного сорта, во вторую – $\vartheta_2$ молей другого при одинаковой температуре. Перегородка абсолютно проницаема для молекул газа первого сорта и абсолютно непроницаема для молекул газа второго сорта. Определить отношение установившихся давлений в обеих частях. Газы считать идеальными. Решение После установления равновесия молекулы газа первого сорта распределятся равномерно по всему сосуду, и, следовательно, в объеме $V_1$ будет находиться $\vartheta_1' = \vartheta_1 V_1 / (V_1 + V_2)$ молей этого газа, а в объеме $V_2$: $\vartheta_1'' = \vartheta_1 V_2 / (V_1 + V_2)$ молей. Молекулы газа второго сорта будут находиться только в объеме $V_2$, т.к. перегородка непроницаема для этих молекул. Поэтому в объеме $V_2$ будет смесь $\vartheta_2$ молей газа второго сорта и $\vartheta_1''$ молей газа первого сорта. В объеме $V_1$ будет находиться газ первого сорта в количестве $\vartheta_1'$ молей. Применяя к первому объему закон Менделеева-Клапейрона, а ко второму – закон Дальтона, получим: $$ p_1 V_1 = \vartheta_1' R T = \vartheta_1 \frac{V_1}{V_1 + V_2} R T \implies p_1 = \frac{\vartheta_1 R T}{V_1 + V_2}; $$ $$ p_2 V_2 = (\vartheta_1'' + \vartheta_2) R T = \left( \vartheta_1 \frac{V_2}{V_1 + V_2} + \vartheta_2 \right) R T \implies p_2 = \frac{\vartheta_1 V_2 + \vartheta_2 (V_1 + V_2)}{V_1 + V_2} \frac{R T}{V_2}, $$ где $T$ – температура газов. Теперь несложно найти отношение давлений газов: $$ \frac{p_1}{p_2} = \frac{\vartheta_1 V_2}{\vartheta_1 V_2 + \vartheta_2 (V_1 + V_2)}. $$ Задача 7 Условие В сосуде объемом $V = 0{,}5$ л находится $m = 1$ г парообразного йода. При температуре $t = 1000~^\circC$ давление в сосуде оказалось равным $p = 10^5$ Па. Найти степень диссоциации молекул йода $J_2$ на атомы йода при этих условиях. Степень диссоциации – отношение числа диссоциировавших молекул к общему числу молекул до диссоциации. Молярная масса йода $J_2$ равна $\mu = 254$ г/моль. Решение Если бы диссоциация двухатомных молекул не происходила, то число молекул в сосуде определялось соотношением $N = m N_A / \mu$ (1), где $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}~моль^{-1}$ – число Авогадро, а $\mu$ – молярная масса двухатомного йода, $\mu = 254$ г/моль. В процессе диссоциации вместо одной молекулы $J_2$ появляются два атома йода. Поэтому если $\Delta N$ двухатомных молекул диссоциировало, то новое число частиц в сосуде $$ N_1 = N - \Delta N + 2\Delta N = N + \Delta N. \quad (2) $$ Поэтому для давления смеси газов (двух- и одноатомный йод) в сосуде имеем по закону Дальтона: $$ p V = N_1 \frac{R T}{N_A} = (N + \Delta N) \frac{R T}{N_A} = \frac{m}{\mu} (1 + \frac{\Delta N}{N}) R T, \quad (3) $$ где $T$ – температура газа в сосуде, $V$ – объем сосуда. Из формулы (3) находим степень диссоциации йода в сосуде: $$ \frac{\Delta N}{N} = \frac{\mu p V}{m R T} - 1 = \frac{254 г/моль \cdot 10^5 Па \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-3} м^3}{1 г \cdot 8{,}31 Дж/(моль\cdotК) \cdot 1273 К} - 1 \approx 0{,}2. $$