шишкина_семинар 01: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 13

Условие

Идеальный газ находится в сосуде под поршнем. В стенке сосуда есть клапан, с помощью которого можно изменять количество газа в сосуде. Поршень можно перемещать, таким образом изменяя объем сосуда. На рисунке представлена диаграмма с четырьмя равновесными состояниями газа, соответствующими разным значениям числа $N$ частиц в сосуде и занимаемого газом объема $V$. Известно, что температура газа одинакова для всех состояний. Найдите отношение максимального давления в сосуде к минимальному.

graph13

Решение

Давление газа связано с концентрацией и температурой следующим образом: $p = nkT$, где $n = N/V$. Воспользуемся данными из графика, получим: $$

p_1 = \frac{4N_0 kT}{V_0},\quad p_2 = \frac{N_0 kT}{2V_0},\quad p_3 = \frac{N_0 kT}{V_0},\quad p_4 = \frac{N_0 kT}{8V_0}.

$$ Максимальным будет давление в т. 1, минимальным – в т. 4, поэтому отношение $$

\frac{p_{max}}{p_{min}} = \frac{p_1}{p_4} = 32.

$$

Ответ: $32$.

Задача 14

Условие

В баллоне объемом 1,66 м$^3$ находится 2 кг молекулярного кислорода при нормальном атмосферном давлении. Определите температуру кислорода.

Решение

Будем считать кислород в баллоне идеальным газом, тогда для него справедливо уравнение Менделеева-Клапейрона: $$

pV = \frac{m}{\mu}RT.

$$ В баллоне находится молекулярный кислород, т.е. $O_2$, его молярная масса $\mu = 32$ г/моль $= 0{,}032$ кг/моль. Нормальное атмосферное давление равно 100 кПа. Выразим и вычислим температуру газа: $$

T = \frac{pV\mu}{mR} = \frac{10^5 Па\cdot 1{,}66 м^3 \cdot 0{,}032 кг/моль}{2 кг\cdot 8{,}31 Дж/(моль\cdotК)} \approx 320 К.

$$

Ответ: $320$ К.

Задача 15

Условие

Объем комнаты 60 м$^3$, давление газа равно нормальному атмосферному. Какая масса воздуха выйдет из комнаты, если температура воздуха возрастет с 10 C до 20 C?

Решение

Нормальное атмосферное давление $p = 100$ кПа $= 100\,000$ Па. Воздух в комнате будем считать идеальным газом, поэтому для него будет выполняться уравнение Менделеева-Клапейрона. Применим его для воздуха до нагревания и после: $$

pV = \frac{m_1}{\mu}RT_1,\quad pV = \frac{m_2}{\mu}RT_2.

$$ Выразим отсюда массу воздуха в комнате до нагревания и после. Тогда масса вышедшего из комнаты воздуха равна: $$

m_1 - m_2 = \frac{pV\mu}{R}\left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{10^5 Па\cdot 60 м^3 \cdot 0{,}029 кг/моль}{8{,}31 Дж/(моль\cdotК)}\left( \frac{1}{283 К} - \frac{1}{293 К} \right) \approx 2{,}5 кг.

$$

Ответ: $2{,}5$ кг.

Задача 16

Условие

В резиновой оболочке содержится идеальный газ, занимающий объем 16,62 л при температуре 400 К и давлении 200 кПа. Из оболочки выпустили некоторое количество газа и охладили ее содержимое. В результате занимаемый газом объем уменьшился в 4 раза, давление выросло на 50%, а абсолютная температура упала до 250 К. На сколько уменьшилось количество газа в молях внутри оболочки?

Решение

Газ идеальный, значит он подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: $$

pV = \nu RT.

$$ В начале эксперимента в оболочке было газа: $$

\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{RT_1} = \frac{200\cdot 10^3 \cdot 16{,}62\cdot 10^{-3}}{8{,}31\cdot 400} = 1 моль.

$$ Затем часть газа выпустили, и внутри оболочки осталось: $$

\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{RT_2} = \frac{1{,}5\cdot 200\cdot 10^3 \cdot 16{,}62\cdot 10^{-3}/4}{8{,}31\cdot 250} = 0{,}6 моль.

$$ Итак, количество газа внутри оболочки уменьшилось на 0,4 моля.

Ответ: уменьшилось на $0{,}4$ моля.

Задача 17

Условие

Газ переводят из состояния 1 в состояние 2 так, что концентрация молекул газа прямо пропорциональна его давлению (см. рисунок). Масса газа постоянна, начальная температура 400 К. Чему равна температура газа в состоянии 2?

graph17

Решение

Так как концентрация газа прямо пропорциональна его давлению, то из уравнения $p = nkT$ следует, что процесс изотермический. Поэтому в состоянии 2 температура будет такой же, как в состоянии 1, и равна 400 К.

Ответ: $400$ К.

Задача 18

Условие

В сосуде с жесткими стенками под плотно закрытой крышкой находится некоторое постоянное количество идеального газа. Температуру газа увеличили в 3 раза, а давление при этом увеличилось на 50 кПа. Каким было начальное давление в сосуде?

Решение

Поскольку сосуд имеет жесткие стенки, то его объем не меняется, а плотно закрытая крышка гарантирует, что количество газа внутри сосуда остается неизменным. Поэтому с газом происходит изохорный процесс: $$

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}.

$$ Согласно условию $T_2 = 3T_1$, $p_2 = p_1 + \Delta p$, поэтому $3p_1 = p_1 + \Delta p$, откуда получим, что $p_1 = \Delta p/2 = 25$ кПа.

Ответ: $25$ кПа.

Задача 19

Условие

В сосуде объемом 8,31 л находится 0,35 моль идеального газа при давлении 100 кПа. Газ сначала изотермически расширяют в 2 раза, а затем изохорически нагревают на 120 К. Чему равно давление газа в конечном состоянии?

Решение

Для каждого состояния газа можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона: $$

p_1 V_1 = \nu RT_1,

$$ $$

2p_2 V_1 = \nu RT_1,

$$ $$

2p_3 V_1 = \nu R(T_1 + \Delta T).

$$ Воспользуемся первым и третьим уравнением, получим: $$

p_3 = \frac{p_1}{2}\left( 1 + \frac{\Delta T}{T_1} \right).

$$ Также из первого уравнения: $$

T_1 = \frac{p_1 V_1}{\nu R},

$$ значит: $$

p_3 = \frac{p_1}{2}\left( 1 + \frac{\nu R \Delta T}{p_1 V_1} \right) = \frac{10^5}{2}\left( 1 + \frac{0{,}35\cdot 8{,}31\cdot 120}{10^5 \cdot 8{,}31\cdot 10^{-3}} \right) = 71 кПа.

$$

Ответ: $71$ кПа.

Задача 20

Условие

Кислород в сосуде под поршнем перешел из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок), при этом его абсолютная температура повысилась в 8 раз. Сквозь зазор между поршнем и стенками сосуда мог просачиваться газ. Рассчитайте отношение $N_2/N_1$ числа молекул кислорода в сосуде в конце и в начале опыта. Кислород считайте идеальным газом.

graph20

Решение

Дано: $p_1 = 2\cdot 10^5$ Па, $V_1 = 0{,}2$ м$^3$, $p_2 = 4\cdot 10^5$ Па, $V_2 = 0{,}6$ м$^3$, $T_2/T_1 = 8$.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для двух состояний кислорода в сосуде: $$

p_1 V_1 = \frac{m_1}{M}RT_1 \quad и \quad p_2 V_2 = \frac{m_2}{M}RT_2.

$$ Масса газа связана с количеством его молекул соотношением: $$

\frac{m}{M} = \frac{N}{N_A},

$$ где $N_A$ – число Авогадро. В итоге получаем: $$

\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{m_2 R T_2 M}{M m_1 R T_1} = \frac{N_2 T_2}{N_1 T_1} \Rightarrow \frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1}\cdot \frac{T_1}{T_2} = \frac{4\cdot 10^5\cdot 0{,}6}{2\cdot 10^5 \cdot 0{,}2}\cdot \frac{1}{8} = 0{,}75 раза.

$$

Ответ: $0{,}75$ раза.