шишкина_семинар 01

Задача 13 Условие Идеальный газ находится в сосуде под поршнем. В стенке сосуда есть клапан, с помощью которого можно изменять количество газа в сосуде. Поршень можно перемещать, таким образом изменяя объем сосуда. На рисунке представлена диаграмма с четырьмя равновесными состояниями газа, соответствующими разным значениям числа $N$ частиц в сосуде и занимаемого газом объема $V$. Известно, что температура газа одинакова для всех состояний. Найдите отношение максимального давления в сосуде к минимальному. Решение Давление газа связано с концентрацией и температурой следующим образом: $p = nkT$, где $n = N/V$. Воспользуемся данными из графика, получим: $$ p_1 = \frac{4N_0 kT}{V_0},\quad p_2 = \frac{N_0 kT}{2V_0},\quad p_3 = \frac{N_0 kT}{V_0},\quad p_4 = \frac{N_0 kT}{8V_0}. $$ Максимальным будет давление в т. 1, минимальным – в т. 4, поэтому отношение $$ \frac{p_{max}}{p_{min}} = \frac{p_1}{p_4} = 32. $$ Ответ: $32$. Задача 14 Условие В баллоне объемом 1 , 66 м$^3$ находится 2 кг молекулярного кислорода при нормальном атмосферном давлении. Определите температуру кислорода. Решение Будем считать кислород в баллоне идеальным газом, тогда для него справедливо уравнение Менделеева-Клапейрона: $$ pV = \frac{m}{\mu}RT. $$ В баллоне находится молекулярный кислород, т.е. $O_2$, его молярная масса $\mu = 32$ г/моль $= 0{,}032$ кг/моль. Нормальное атмосферное давление равно 100 кПа. Выразим и вычислим температуру газа: $$ T = \frac{pV\mu}{mR} = \frac{10^5 Па\cdot 1{,}66 м^3 \cdot 0{,}032 кг/моль}{2 кг\cdot 8{,}31 Дж/(моль\cdotК)} \approx 320 К. $$ Ответ: $320$ К. Задача 15 Условие Объем комнаты 60 м$^3$, давление газа равно нормальному атмосферному. Какая масса воздуха выйдет из комнаты, если температура воздуха возрастет с 10 C до 20 C? Решение Нормальное атмосферное давление $p = 100$ кПа $= 100\,000$ Па. Воздух в комнате будем считать идеальным газом, поэтому для него будет выполняться уравнение Менделеева-Клапейрона. Применим его для воздуха до нагревания и после: $$ pV = \frac{m_1}{\mu}RT_1,\quad pV = \frac{m_2}{\mu}RT_2. $$ Выразим отсюда массу воздуха в комнате до нагревания и после. Тогда масса вышедшего из комнаты воздуха равна: $$ m_1 - m_2 = \frac{pV\mu}{R}\left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{10^5 Па\cdot 60 м^3 \cdot 0{,}029 кг/моль}{8{,}31 Дж/(моль\cdotК)}\left( \frac{1}{283 К} - \frac{1}{293 К} \right) \approx 2{,}5 кг. $$ Ответ: $2{,}5$ кг. Задача 16 Условие В резиновой оболочке содержится идеальный газ, занимающий объем 16 , 62 л при температуре 400 К и давлении 200 кПа. Из оболочки выпустили некоторое количество газа и охладили ее содержимое. В результате занимаемый газом объем уменьшился в 4 раза, давление выросло на 50%, а абсолютная температура упала до 250 К. На сколько уменьшилось количество газа в молях внутри оболочки? Решение Газ идеальный, значит он подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: $$ pV = \nu RT. $$ В начале эксперимента в оболочке было газа: $$ \nu_1 = \frac{p_1 V_1}{RT_1} = \frac{200\cdot 10^3 \cdot 16{,}62\cdot 10^{-3}}{8{,}31\cdot 400} = 1 моль. $$ Затем часть газа выпустили, и внутри оболочки осталось: $$ \nu_2 = \frac{p_2 V_2}{RT_2} = \frac{1{,}5\cdot 200\cdot 10^3 \cdot 16{,}62\cdot 10^{-3}/4}{8{,}31\cdot 250} = 0{,}6 моль. $$ Итак, количество газа внутри оболочки уменьшилось на 0 , 4 моля. Ответ: уменьшилось на $0{,}4$ моля. Задача 17 Условие Газ переводят из состояния 1 в состояние 2 так, что концентрация молекул газа прямо пропорциональна его давлению (см. рисунок). Масса газа постоянна, начальная температура 400 К. Чему равна температура газа в состоянии 2? Решение Так как концентрация газа прямо пропорциональна его давлению, то из уравнения $p = nkT$ следует, что процесс изотермический. Поэтому в состоянии 2 температура будет такой же, как в состоянии 1, и равна 400 К. Ответ: $400$ К. Задача 18 Условие В сосуде с жесткими стенками под плотно закрытой крышкой находится некоторое постоянное количество идеального газа. Температуру газа увеличили в 3 раза, а давление при этом увеличилось на 50 кПа. Каким было начальное давление в сосуде? Решение Поскольку сосуд имеет жесткие стенки, то его объем не меняется, а плотно закрытая крышка гарантирует, что количество газа внутри сосуда остается неизменным. Поэтому с газом происходит изохорный процесс: $$ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}. $$ Согласно условию $T_2 = 3T_1$, $p_2 = p_1 + \Delta p$, поэтому $3p_1 = p_1 + \Delta p$, откуда получим, что $p_1 = \Delta p/2 = 25$ кПа. Ответ: $25$ кПа. Задача 19 Условие В сосуде объемом 8 , 31 л находится 0 , 35 моль идеального газа при давлении 100 кПа. Газ сначала изотермически расширяют в 2 раза, а затем изохорически нагревают на 120 К. Чему равно давление газа в конечном состоянии? Решение Для каждого состояния газа можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона: $$ p_1 V_1 = \nu RT_1, $$ $$ 2p_2 V_1 = \nu RT_1, $$ $$ 2p_3 V_1 = \nu R(T_1 + \Delta T). $$ Воспользуемся первым и третьим уравнением, получим: $$ p_3 = \frac{p_1}{2}\left( 1 + \frac{\Delta T}{T_1} \right). $...