Блоки и рычаги

Задача 4

Условие

На рисунке представлена система, состоящая из двух однородных стержней массой m , шарнирно закреплённых на опорах, лёгких нитей, перекинутых через блоки. На нижнем стержне стоят два человека массой 3m каждый, с помощью нитей удерживающие систему в равновесии. Определите силы давления людей на нижний стержень и силы натяжения нитей. Участки нитей, не касающиеся блоков, вертикальны. Стержни горизонтальны, и каждый из них разделён на равные отрезки. Трение в шарнирах и осях блоков отсутствует.

27 Решение

28 Для 1-ого человека: N_1 + T_1 = 3mg . Для 2-ого человека: N_2 + T_2 = 3mg .

Для верхнего рычага O_1 : 8bT_1 = mg3b + T_2 \cdot 2b

Для нижнего рычага O_2 : N_1 2a = mg \cdot 2a + N_2 \cdot 5a

N_1 + T_1 = 3mg \rightarrow N_1 = (3mg - T_1) \quad (1) N_2 + T_2 = 3mg \rightarrow N_2 = (3mg - T_2) \quad (2) 8T_1 = 3mg + 2T_2 \rightarrow 2T_2 = 8T_1 - 3mg \rightarrow T_2 = \left(4T_1 - \frac{3mg}{2}\right) \quad (3) 2N_1 = 2mg + 5N_2 \quad (4)

Подставим в (4) выражения (1) и (2): 2(3mg - T_1) = 2mg + 5(3mg - T_2); 6mg - 2T_1 = 2mg + 15mg - 5T_2; 5T_2 - 2T_1 = 17mg - 6mg;

С учетом (3): 5\left(4T_1 - \frac{3mg}{2}\right) - 2T_1 = 11mg; 20T_1 - \frac{15mg}{2} - 2T_1 = 11mg; 18T_1 = \frac{22mg + 15mg}{2}; T_1 = \frac{37mg}{36}

Вернемся к (3): T_2 = \frac{4 \cdot 37mg}{36} - \frac{3mg}{2} = \frac{37mg}{9} - \frac{3mg}{2} = \frac{74mg - 27mg}{18} = \frac{47mg}{18} T_2 = \frac{47mg}{18}

Вернемся к (1): N_1 = 3mg - T_1 = 3mg - \frac{37mg}{36} = \frac{108mg - 37mg}{36} = \frac{71mg}{36}

Вернемся к (2): N_2 = 3mg - T_2 = 3mg - \frac{47mg}{18} = \frac{54mg - 47mg}{18} = \frac{7mg}{18}

Ответ T_1 = \frac{37mg}{36}; T_2 = \frac{47mg}{18}; N_1 = \frac{71mg}{36}; N_2 = \frac{7mg}{18}