Блоки Часть 1: Блоки

Задача 5

Условие

На рисунке изображена система, состоящая из блоков, грузов и верёвок. Массы грузов 1 и 2 известны: m_1 = 4 кг, m_2 = 6 кг. В каком интервале должна лежать масса m_3 третьего груза, чтобы система находилась в равновесии? Блоки и нити считать невесомыми, трением в блоках пренебречь. Участки нитей, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны.

33 Решение

34 Для грузов: \begin{cases}

m_1g = T_1 + T_{13} \quad (1) \\

m_3g = T_{13} + T_{32} \quad (2) \\

m_2g = T_{32} + T_2 \quad (3)

\end{cases}

Для блоков (подвижных): \begin{cases}

T_1 = 2T_0 - левый \\

T_0 = 2T_2 \rightarrow T_2 = \frac{T_0}{2} - правый

\end{cases}

\begin{cases}

из (3): T_{32} = m_2g - T_2 = m_2g - \frac{T_0}{2} \quad (4) \\

из (1): T_{13} = m_1g - T_1 = m_1g - 2T_0 \quad (5)

\end{cases} Из (1) T_{13} = m_1g - T_1 \quad (1')

Подставим (**) в (1’) T_{13} = m_1g - 2 \cdot \frac{2(m_1 + m_2 - m_3)g}{5} T_{13} = \frac{5m_1g - 4m_1g - 4m_2g + 4m_3g}{5} T_{13} = \frac{1}{5}(m_1 - 4m_2 + 4m_3)g

m_1 - 4m_2 + 4m_3 \geq 0 4m_3 \geq 4m_2 - m_1 m_3 \geq \frac{24 - 4}{4} m_3 \geq 5 кг

Подставим (4) и (5) в (2) m_3g = m_1g - 2T_0 + m_2g - \frac{T_0}{2} (m_3 - m_1 - m_2)g = -\frac{5T_0}{2} \frac{5T_0}{2} = (m_1 + m_2 - m_3)g \quad (*) T_0 = \frac{2(m_1 + m_2 - m_3)g}{5} \quad (**)

T_1 = 2T_0 m_1 + m_2 - m_3 \geq 0 m_1 + m_2 \geq m_3 m_3 \leq 10 кг

Ответ 5кг \leq m_3 \leq 10 кг