Термодинамика.

7. Циклические процессы

Циклическим процессом или циклом называют газовый процесс, в результате которого газ возвращается в начальное состояние.

Циклические процессы удобнее всего изучать, используя графики зависимости давления от объёма (рис. 5).

При переходе из состояния 1 в состояние 2 газ расширялся и, следовательно, совершал положительную работу A_{\text {г }} . Эта работа численно равна площади фигуры под данной частью графика.

При переходе же из состояния 2 в состояние 1 газ сжимался - при этом работу совершали внешние силы. Напомним, что при сжатии газа внешними силами площадь фигуры под графиком зависимости p(V) равна работе внешних сил A_{\text {внеш. }} .

Полезной работой газа A_{\text {пол }} называют разность работы газа и работы внешних сил: A_{\text {пол }}=A_{\text {г }}-A_{\text {внеш }} .

Отсюда следует, что полезная работа газа за ичикл численно равна площади фигуры, заключённой внутри цикла в координатах ( p, V ). Эта фигура выделена цветом на рисунке 5 .

Пример 2

Условие

При сжатии идеального одноатомного газа при постоянном давлении внешние силы совершили работу 2000 Дж. Какое количество теплоты было передано при этом газом окружающим телам?

Решение

Работа газа при постоянном давлении равна: A_{\text{г}}=p \Delta V .

Изменение внутренней энергии: \Delta U=\frac{3}{2} v R \Delta T . Используя уравнение Менделеева - Клапейрона, получим p \Delta V=v R \Delta T . Следовательно, \Delta U= \frac{3}{2} \nu R \Delta T=A_{\text{г}} .

По первому закону термодинамики Q=\Delta U+A_{\text{г}} . Объединяя формулы, получаем Q=\frac{5}{2} A_{\text{г}} . Учтём, что работа внешних сил A_{\text {внеш }}=-A_{\text {г }} , получим Q=-\frac{5}{2} A_{\text {внеш }}=-\frac{5}{2} \cdot 2000=-5000 Дж =-5 кДж.

Следовательно газ отдал 5 кДж количества теплоты.

Пример 3

Условие

В сосуде с жёсткими стенками находится одноатомный идеальный газ. Начальная температура газа равна 400 К, его масса составляет 12 г, а молярная масса -0,004 кг/моль. В результате охлаждения давление газа уменьшилось до 2 \cdot 10^{5} Па, при этом газ отдал количество теплоты, равное 7500 Дж. Найдите начальное давление газа.

Решение

Поскольку процесс изохорный, то по закону Шарля \frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}} . Откуда T_{2}=\frac{p_{2 T_{1}}}{p_{1}} . Кроме того, при изохорном процессе A_{\text{г}}=0 .

Тогда по первому началу термодинамики

Q=\Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} R\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{3}{2} \frac{m}{M} R\left(\frac{p_{2 T_{1}}}{p_{1}}-T_{1}\right)=\frac{3}{2} \frac{m}{M} R T_{1}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}-1\right) .

Откуда находим начальное давление газа

p_{1}=\frac{p_{2}}{\frac{2 M Q}{3 m R T_{1}}+1}=\frac{3 m R T_{1} p_{2}}{2 M Q+3 m R T_{1}}= \frac{3 \cdot 12 \cdot 10^{-3} \cdot 8,31 \cdot 400 \cdot 2 \cdot 10^{5}}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \cdot 7500+3 \cdot 12 \cdot 10^{-3} \cdot 8,31 \cdot 400}=113,2 \text{ кПа}.

Пример 4

Условие

Гелий в количестве \nu=3 моль изобарно сжимают, совершая работу \left|A_{1}\right|=2,4 кДж. При этом температура гелия уменьшается в 4 раза: T_{2}= \frac{T_{1}}{4} . Затем газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до значения T_{3}=\frac{T_{1}}{8} . Найдите работу газа A_{2} при адиабатном расширении. Количество вещества в процессах остаётся неизменным.

Решение

Работа газа при изобарном сжатии равна:

A_{1}=p_{1}\left(V_{2}-V_{1}\right).

Используя уравнение Менделеева - Клапейрона, получим

p_{1}\left(V_{2}-V_{1}\right)=\nu R\left(T_{2}-T_{1}\right)=\nu R\left(\frac{T_{1}}{4}-T_{1}\right)=-\frac{3}{4} \nu R T_{1}.

Тогда работа газа при изобарном сжатии

A_{1}=-\frac{3}{4} \nu R T_{1}.

Откуда

\nu R T_{1}= -\frac{4}{3} A_{1}.

В адиабатном процессе в соответствии с первым законом термодинамики сумма изменения внутренней энергии газа и его работы равна нулю:

\Delta U_{23}+A_{2}=0 \quad \Rightarrow \quad A_{2}=-\Delta U_{23}.

Изменение внутренней энергии:

\Delta U_{23}=\frac{3}{2} \nu R\left(T_{3}-T_{2}\right)=\frac{3}{2} \nu R\left(\frac{T_{1}}{8}-\frac{T_{1}}{4}\right)= -\frac{3}{16} \nu R T_{1}.

Тогда работа газа A_{2} при адиабатном расширении

A_{2}=\frac{3}{16} \nu R T_{1}.

Подставляя в полученное выражение значение

\nu R T_{1}=-\frac{4}{3} A_{1},

получим

A_{2}=-\frac{A_{1}}{4}.

Учитывая, что работа газа при изобарном сжатии меньше нуля, получим:

A_{2}=-\frac{A_{1}}{4}=-\frac{-2,4}{4}=0,6\text{ кДж}.

Пример 5

Условие

Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится v_{1}=3 моль гелия при температуре T_{1}=350 К, во втором \nu_{2}=2 моль аргона при температуре T_{2}= 400 К. Кран открывают. В установившемся равновесном состоянии давление в сосудах становится p=6 кПа. Определите объём V одного сосуда. Объёмом трубки пренебречь.

Решение

Так как сосуды теплоизолированные, а газ не совершает работы, то изменение внутренней энергии равно 0 , то есть

U_{10}+U_{20}=U_{1}+ U_{2}.

Используя формулу для расчёта внутренней энергии одноатомного идеального газа (гелий и аргон - одноатомные газы), получим

\frac{3}{2} v_{1} R T_{1}+ \frac{3}{2} v_{2} R T_{2}=\frac{3}{2} R T\left(v_{1}+v_{2}\right).

Отсюда установившаяся температура

T=\frac{v_{1} T_{1}+v_{2} T_{2}}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}.

По уравнению Менделеева - Клапейрона установившемся равновесном состоянии

p \cdot 2 V=\left(v_{1}+v_{2}\right) R T.

Отсюда объем одного сосуда

V=\frac{\left(v_{1}+v_{2}\right) R T}{2 p}.

Подставляя выражение для установившейся температуры, получим

V= \frac{R\left(v_{1} T_{1}+v_{2} T_{2}\right)}{2 p}=\frac{8,31 \cdot(3 \cdot 350+2 \cdot 400)}{2 \cdot 6 \cdot 10^{3}} \approx 1,28 \text{ м}^{3}.