Тепловые двигатели

Пример 5

Условие

В тепловом двигателе 2 моль гелия совершают цикл 1-2-3- 4-1 , показанный на графике в координатах p(T) , где p - давление газа, T абсолютная температура (рис. 7). Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

Решение

Цикл состоит из двух изохор, 1-2 и 3-4 , и двух изобар, 2-3 и 4- 1. Перерисуем данный график в координатах p(V) (см. рис. 8).

Согласно закону Шарля \frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}} и условию, что T_{2}=T_{4}=2 T_{1} , получим \frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{2 T_{1}} . Откуда p_{2}=2 p_{1}=p_{3} .

Согласно закону Гей-Люссака \frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{4}}{T_{4}} и условию, что T_{2}=T_{4}=2 T_{1} , получим \frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{4}}{2 T_{1}} . Откуда V_{4}=2 V_{1}=V_{3} .

Работа, совершённая газом за цикл, численно равна площади фигуры внутри цикла (площади прямоугольника):

A=\left(p_{2}-p_{1}\right)\left(V_{3}-V_{1}\right)=\left(2 p_{1}-p_{1}\right)\left(2 V_{1}-V_{1}\right)=p_{1} V_{1} .

Газ получает положительное количество теплоты на участках 1-2 и 2-3 , следовательно Q_{\text{н}}=Q_{12}+Q_{23} . Учтём, что в изохорном процессе 1-2 газ работу не совершает, а внутренняя энергия является функцией состояния. Воспользуемся первым законом термодинамики:

Q_{\text{н}}=\Delta U_{13}+A_{23}= \frac{3}{2} \nu R\left(T_{3}-T_{1}\right)+p_{2}\left(V_{3}-V_{1}\right).

Используем также уравнение Менделеева - Клапейрона. Тогда получим

Q_{\text{н}}=\frac{3}{2}\left(p_{2} V_{3}-p_{1} V_{1}\right)+p_{2}\left(V_{3}-V_{1}\right)=\frac{3}{2}\left(2 p_{1} 2 V_{1}-p_{1} V_{1}\right)+2 p_{1}\left(2 V_{1}-V_{1}\right)=6,5 p_{1} V_{1}.

Тогда КПД равен

\eta=\frac{A}{Q_{\text{н}}} \cdot 100 \%=\frac{p_{1} V_{1}}{6,5 p_{1} V_{1}} \cdot 100 \% \approx 15,4 \%.