Столбик воздуха в трубке. Поршни.

Задача 4

Условие

В открытой пробирке, вращающейся в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 10 с ^{-1} вокруг вертикальной оси, проходящей через край пробирки, находится столбик ртути длиной 1 см, центр которого отстоит от оси вращения на расстояние 20 см. Во сколько раз нужно увеличить температуру внутри пробирки, чтобы столбик ртути не сдвинулся при увеличении угловой скорости в 4 раза? Начальная температура равна 0{ }^{\circ} \mathrm{C} , а внешнее атмосферное давление p_{0}=10^{5} Па.

15

Решение

Пусть атмосферное давление равно p_{0} , давление воздуха p_{1} . Тогда сила атмосферного давления F_{2}=p_{0} S , сила давления воздуха F_{1}=p_{1} S , где S - площадь поршня (см. рис.)

16

Запишем второй закон Ньютона для столбика ртути: \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=m \vec{a}, где m - масса ртути, a - центростремительное ускорение. Спроецируем на ось x : F_{1}-F_{2}=m a, центростремительное ускорение равно: a=\omega^{2} R, где \omega -угловая скорость, R - расстояние от оси вращения до столбика. Масса ртути же равна: m=\rho V=\rho S l, где \rho - плотность ртути, V - объём ртути, l - длина столбика ртути. Тогда подставив все уравнения во второй закон Ньютона: p_{1}=p_{0}+\rho l \omega^{2} R . Так как столбик ртути остался на месте после нагрева, то объём воздуха не изменился, по закону Шарля для воздуха: \frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}, где p_{2} - давление столбика после нагрева. Из второго закона Ньютона для второго случая: p_{2}-p_{0}=16 \rho l \omega^{2} R. С учётом закона Шарля: \frac{p_{1} T_{2}}{T_{1}}-p_{0}=16 \rho l \omega^{2} R \Rightarrow \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{p_{0}+16 \rho l \omega^{2} R}{p_{1}}=\frac{16 p_{0}+16 \rho l \omega^{2} R-15 p_{0}}{p_{1}} . Тогда \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{16\left(p_{0}+\rho l \omega^{2} R\right)-15 p_{0}}{p_{1}}=\frac{16 p_{1}}{p_{1}}-\frac{15 p_{0}}{p_{1}}=16-15 \frac{p_{0}}{p_{1}} Отсюда \frac{T_{2}}{T_{1}}=16-\frac{15 p_{0}}{p_{1}}=16-\frac{15 \cdot 10^{5} Па}{10^{5} Па+13,6 \cdot 10^{3} кг/м^{3} \cdot 0,01 м \cdot 100 \mathrm{c}^{-2} \cdot 0,2 м} \approx 1,4 Задача 5

Условие

В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным поршнем площадью поперечного сечения 50 см ^{2} находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю 2 м/с ^{2} , высота столба газа под поршнем постоянна и на 5 % меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным и равным 28 кПа, определите массу поршня. Масса газа под поршнем постоянна.

17

Решение

1. Запишем в инерциальной системе отсчёта второй закон Ньютона для неподвижного поршня в неподвижном сосуде:

\left(p_{1}-p_{0}\right) S-m g=0, где m - масса поршня, S - площадь его поперечного сечения, p_{0} - внешнее давление, p_{1} - давление газа под поршнем в покоящемся сосуде.

2. В проекциях на ось O x второй закон Ньютона для поршня, неподвижного относительно сосуда, движущегося с ускорением \vec{a} : \left(p_{2}-p_{0}\right) S-m g=m a , где p_{2} - давление газа в сосуде, движущемся с ускорением. При этом результирующая сила давления F=\left(p_{2}-p_{0}\right) S (см. рисунок).

3. По закону Бойля - Мариотта для газа под поршнем имеем:

p_{1} V_{1}=p_{2} V_{2} \Rightarrow p_{1} S h_{1}=p_{2} S h_{2} \Rightarrow p_{1}=p_{2}(1-\eta), где h_{1} и h_{2} - начальная и конечная высоты столба газа под поршнем соответственно, а \eta=\frac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}} \quad - относительное изменение высоты столба газа.

4. Решая систему уравнений \left\{\begin{array}{l}

p_{1} S=p_{0} S+m g \\

p_{2} S=p_{0} S+m g+m a \\

p_{1}=p_{2}(1-\eta)

\end{array}\right. получим выражение для массы поршня: m=\frac{p_{0} \eta S}{(1-\eta) a-\eta g}=\frac{28 \cdot 10^{3} \cdot 0,05 \cdot 50 \cdot 10^{-4}}{(1-0,05) \cdot 2-0,05 \cdot 10}=5 \text { кг. }