Наблюдение волновых эффектов: Семинар 2

Задача 6

Условие

В светлый, но пасмурный безветренный день путник шел по ровному горизонтальному участку дороги. Вдалеке впереди на дороге он заметил маленькую лужу, поверхность которой показалась ему оранжевой (уточним, что увиденный им оттенок отвечал длине волны \lambda_{1}=600 нм). «Наверное, на поверхность лужи попала тонкая бензиновая пленка,» подумал он. На каком расстоянии от лужи он будет находиться в тот момент, когда поверхность лужи впервые покажется ему красной (будем считать, что цвет с длиной волны \lambda_{2}=625 нм уже является красным)? Рост путника H=180 см, показатель преломления этого сорта бензина n=1,25 .

Решение

image.png В светлый пасмурный день освещение поверхности лужи рассеянное (лучи падают со всех возможных направлений), а в безветренный день эта поверхность еще и ровная и горизонтальная. Лучи, попадающие от поверхности лужи в глаза путника, наклонены по отношению к горизонту на угол \alpha=arctg(H / L) , где L- расстояние от лужи до путника.

Ясно, что на поверхность лужи луч, образовавший эти лучи, тоже падал под этим углом к горизонту. Как видно из построения, в интерференции участвуют лучи, отраженные от двух сторон бензиновой пленки толщиной h . Подсчитаем оптическую разность хода лучей от точки падения, в которой они были синфазны. Расстояние между точками «входа» и «выхода» луча в пленку D=2 h \cdot tg(\beta) , где угол преломления \beta находится из закона Снелла: \sin (\beta)=\frac{1}{n} \cos (\alpha) , \cos (\beta)=\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}} \cos ^{2}(\alpha)} \quad и \quad tg(\beta)=\frac{\cos (\alpha)}{\sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}} . \quad Поэтому \quad D=\frac{2 h \cos (\alpha)}{\sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}} . Следовательно, путь отраженного луча до общей поверхности волнового фронта со вторым лучом s_{1}=D \cdot \cos (\alpha)=h \frac{2 \cos ^{2}(\alpha)}{\sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}} . Оптическая длина хода луча, прошедшего через слой масла, s_{2}=n \cdot 2 \frac{h}{\cos (\beta)}=h \frac{2 n^{2}}{\sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}} . Первый луч испытывает отражение от оптически более плотной среды, и к его длине хода нужно добавить половину длины волны. Про второй мы этого наверняка не знаем - скорее всего, показатель преломления воды в луже больше 1,25 , и тогда второй луч тоже отражается от более плотной среды, и одинаковые добавки к длине хода лучей сокращаются. Но поскольку это точно не известно, запишем оптическую разность хода лучей так: \Delta s=s_{2}-s_{1}-k \frac{\lambda}{2}=2 h \sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}-k \frac{\lambda}{2}, где k=0 , если показатель преломления воды в луже больше 1,25 , и k=1 , если меньше. Видимый цвет пленки соответствует длине волны, для которой выполняется условие максимумов \Delta s=m \cdot \lambda , то есть 2 h \sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}=\left(m+\frac{k}{2}\right) \lambda .

Согласно условию, при очень большом расстоянии L \gg H \Rightarrow \alpha \approx 0 это условие было выполнено для оттенка оранжевого цвета, то есть 2 h \sqrt{n^{2}-1}=\left(m+\frac{k}{2}\right) \lambda_{1} . Поскольку при увеличении \alpha в области малых углов левая часть равенства монотонно растет, то для \lambda_{2} условие максимума впервые выполнится в том же порядке интерференции, то есть 2 h \sqrt{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}=\left(m+\frac{k}{2}\right) \lambda_{2} . Разделив эти соотношения друг на друга, после возведения в квадрат получаем: z^{2} \equiv\left(\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{n^{2}-\cos ^{2}(\alpha)}{n^{2}-1} \Rightarrow \cos ^{2}(\alpha)=z^{2}-n^{2}\left(z^{2}-1\right). Соответствующее расстояние L=H \cdot ctg(\alpha)=H \sqrt{\frac{\cos ^{2}(\alpha)}{1-\cos ^{2}(\alpha)}}=\frac{H}{\sqrt{n^{2}-1}} \sqrt{\frac{z^{2}}{z^{2}-1}-n^{2}}=\frac{5 \sqrt{39}}{7} H \approx 8 м.

Ответ 8 м.