Наблюдение волновых эффектов: Семинар 2

Задача 4

Условие

Из средней части тонкой собирающей линзы с оптической силой D=1 дптр аккуратно вырезают узкую полосу шириной h=2 мм (оптический центр линзы оказывается точно на средней линии полосы) и сдвигают получившиеся половинки вместе и склеивают тонким слоем прозрачного клея. Монохроматический источник света ( \lambda=600 нм), имеющий радиус r \approx 10 мкм и время когерентности \tau \approx 10^{-10} с помещен на оси симметрии полученной «билинзы» на расстоянии a=50 см от нее, а на расстоянии L=4 м за «билинзой» поставили экран, плоскость которого параллельна плоскости «билинзы». Найти число светлых полос в интерференционной картине, наблюдаемой на экране.

Решение

Фокусное расстояние исходной линзы F=1 м. Каждая половина билинзы преломляет лучи, прошедшие через нее, как полная линза. Ясно, например, что оптический центр верхней половины находится ниже оси симметрии билинзы в ее плоскости на h / 2 , и она создает изображение источника S_{1} на расстоянии |b|=2 a=F от плоскости билинзы, выше ее оси на h / 2 (см. рисунок). Здесь мы воспользовались формулой линзы: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=D \Rightarrow \frac{2}{F}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F} \Rightarrow b=-F.

image.png На рисунке разными цветами показаны лучи, проходящие через обе половины билинзы, и видно, что на экране возникает область перекрытия лучей от двух когерентных (синфазных) точечных источников S_{1} и S_{2} , находящихся на расстоянии h друг от друга. Эти источники находятся на расстоянии L+F \equiv L^{\prime}=5 м от экрана. Таким образом, ширина интерференционной полосы \Delta=\frac{\lambda L^{\prime}}{h}=1,5 мм. Угол отклонения крайних лучей в области перекрытия лучей от источников \alpha \approx \frac{h}{2 F}=\frac{1}{2} D h . Поэтому ширина области интерференции на экране H=2 \alpha L=D L h=8 мм (причем нам ясно - из симметрии хода лучей - что в центре картины наблюдается светлая полоса) и максимальное возможное (по геометрии хода лучей) число полос в интерференционной картине N_{\text {max }}=5 (наблюдается центральная полоса и еще по две с каждой стороны). Нам нужно еще проверить, что размеры и время когерентности источника не помешают нам наблюдать все 5 полос. Для нашего источника c \cdot \tau \approx 30 мм, а максимальная разность хода между интерферирующими лучами (на краю картины) 2 \lambda=1,2 мкм, так что ограничение времени когерентности нам явно не помешает. Поперечный размер изображения в два раза превышает размер источника, то есть на самом деле наблюдаемая интерференционная картина будет наложением картин, для которых расстояние между источниками изменяется от h-4 r=1,96 мм до h+4 r=2,04 мм. Значит, светлая полоса, отвечающая максимуму второго порядка, имеет ширину 0,08 \cdot 2 \Delta=0,24 мм. Такое «размазывание» не помешает нам отличить ее от полосы максимума первого порядка (ее ширина в два раза меньше, а расстояние между их центрами 1,5 мм). На самом деле, конечно, ширина светлых полос несколько больше - мы учитывали только области, где выполняется условие максимумов, но нужно понимать, что даже при формально «точечном» источнике интенсивность подающего света от точки максимума до точки минимума уменьшается довольно плавно. Тем не менее наши оценки показывают, что сумма «полуширин» областей максимума для соседних линий почти на порядок меньше расстояния между ними, так что вывод о различимости линий сделан с «хорошим запасом».

Ответ будет наблюдаться 5 светлых полос.