Задачи о волновых явлениях: Семинар 1

Задача 1

Условие

При полете за нектаром пчела летит со скоростью V_{1}=6 м/с, и при этом длина волны звука ее крыльев \lambda_{1}=0,8 м. При полете обратно (с грузом нектара) пчела летит со скоростью V_{2}=5 м/с, а длина волны звука \lambda_{2}=1,2 м. Во сколько раз больше взмахов крыльев сделает пчела при полете за нектаром, чем при полете обратно?

Решение

Частота звука крыльев пчелы равна частоте взмахов крыльев. Пусть s - путь пчелы в одну сторону. Тогда время ее полета за нектаром t_{1}=\frac{s}{V_{1}} , а частота взмахов крыльев v_{1}=\frac{u}{\lambda_{1}} , где u - скорость звука в воздухе. Значит, количество взмахов крыльев пчелы при полете за нектаром N_{1}=v_{1} t_{1}=\frac{s u}{V_{1} \lambda_{1}} . Аналогично N_{2}=v_{2} t_{2}=\frac{s u}{V_{2} \lambda_{2}} . Значит, \frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{V_{2} \lambda_{2}}{V_{1} \lambda_{1}}=1,25 .

Ответ 1,25.

Задача 2

Условие

Свойства звуковых волн в разных материалах часто описывают законом дисперсии, описывающим связь скорости распространения звуковой волны V_{s} с длиной волны \lambda . На рисунке показан график зависимости V_{s}(\lambda) для некоторого материала. Найдите частоту колебаний звукового давления в волне с \lambda=2 м.

1 Решение

Скорость распространения волны связана с частотой и длиной волны соотношением V_{s}=\lambda \cdot \nu . Следовательно, \nu(\lambda)=\frac{V_{s}(\lambda)}{\lambda} . Определим из графика, что при \lambda=2 м скорость распространения V_{s}(\lambda) \approx 800 м/с. Значит, v(\lambda) \approx 400 Гц.

Ответ 400 Гц.

Задача 3

Условие

Высокая вертикальная молния ударила в землю на расстоянии 1320 м от наблюдателя, который слышал звук грома от нее в течении 4,5 с. Какова была высота молнии? Скорость звука в воздухе считайте равной 330 м/с.

Решение

С учетом малости времени разряда, можно прийти к заключению, что длительность грома примерно равна разности расстояний до самого далекого и самого близкого участка «ствола» молнии, разделенную на скорость звука \tau \approx \frac{r_{\max}-r_{\min}}{V_{s}} . Ближайшей является нижняя точка вертикального ствола: r_{\min}=l=880 м, а самой удаленной - верхняя: r_{\max}=\sqrt{l^{2}+h^{2}} . Следовательно, h \approx V_{s} \tau \sqrt{1+\frac{2 l}{V_{s} \tau}}=2475 м.

Ответ h \approx 2475 м.

Задача 4

Условие

Подводная лодка плавно всплывает вертикально вверх с постоянной скоростью. Ee гидролокатор излучает ультразвуковые импульсы длительностью \tau_{0}=10,000 мс. Приемник гидролокатора фиксирует отраженные от дна импульсы длительностью \tau \approx 10,025 мс. С какой скоростью всплывает лодка? Считать, что скорость ультразвука в воде при условиях, соответствующих измерению, известна с высокой точностью: u \approx 1475 м/с. Ответ дайте в м/с, с точностью до десятых.

Решение

Испущенный гидролокатором импульс пройдет до дна, отразится и догонит лодку за некоторое время t . Лодка, движущаяся со скоростью V , пройдет за это время расстояние V \cdot t . Поэтому t определяется из уравнения u \cdot t=2 h+V \cdot t . Как видно, ультразвук, излучаемый локатором лодки, всплывающей со скоростью V в момент, когда она находилась на высоте h над дном, вернется к приемнику спустя время t=\frac{2 h}{u-V} . Поскольку лодка поднимается, то «передний» фронт импульса потратит на это «путешествие» больше времени, чем «задний»: t_{к}>t_{н} . Поэтому длительность принимаемого импульса увеличится \tau=\tau_{0}+t_{к}-t_{н}=\tau_{0}+\frac{2\left(h+V \tau_{0}\right)}{u-V}-\frac{2 h}{u-V}=\frac{u+V}{u-V} \tau_{0} . Следовательно, V=\frac{\tau-\tau_{0}}{\tau+\tau_{0}} u \approx 1,8 м/с. Отметим, что требуемая точность ответа (с указанием двух значащих цифр) выбрана не случайно - она соответствует реальной точности, так как в итоговую формулу, помимо величин, которые нам известны с точностью до 4-5 значащих цифр, входит малая разность длительностей \tau-\tau_{0} \approx 0,025 мс, известная нам именно с точностью до второй значащей цифры!

Ответ 1,8.