Дифракция, дисперсия и поляризационные эффекты: Лекция 3

Дифракция

image.png Дифракция - явление изменения направления распространения волны при взаимодействии с препятствиями («огибание» препятствий). На фотографии мы видим картину, возникшую на экране за круглым отверстием, освещенным почти монохроматическим светом (лазерным пучком). Эта картина существенно отличается от той, что должна была получиться в рамках геометрической оптики (круглое светлое пятно). Так что она сама по себе есть зримое свидетельство в пользу волновой модели распространения света.

Процесс распространения волны можно описать, опираясь на принцип Гюйгенса - Френеля: Каждая точка среды, в которой происходят колебания, становится источником вторичных волн, интерференция которых и приводит к формированию распространяющейся волны. Фронт волны является огибающей фронтов сферических вторичных волн. Таким образом, при ограничении волнового фронта (например, если электромагнитная волна попадает на «ширму» с некоторыми отверстиями), нам нужно записать выражение для амплитуд вторичных волн, отвечающих колебаниям в зонах отверстий, и сложить их как когерентные колебания. Таким образом, в этом случае мы имеем дело с многолучевой интерференцией. Поэтому для описания дифракции мы не можем ограничится результатами анализа сложения двух когерентных колебаний - нам нужно уметь складывать произвольное количество когерентных сигналов. Впрочем, если мы остаемся в рамках линейного описания, мы по-прежнему можем разбивать сложный по составу сигнал на гармоники - монохроматические сигналы, и просто накладывать друг на друга «картины» от каждой гармоники.

Количественный анализ многолучевой интерференции очень неудобно производить в рамках подхода, который мы использовали в двулучевой - там мы просто воспользовались тригонометрическими преобразованиями суммы косинусов. Поэтому для расчетов многолучевой интерференции обычно используют один из двух методов, специально разработанных для описания сложения когерентных гармонических сигналов - метод векторных диаграмм и метод комплексных амплитуд. В «школьной» физике их чаще всего изучают как методы решения задач о линейных цепях переменного тока. Но их можно применять и в оптике.

image.png Впрочем, для начала изучим более простой «полукачественный» подход, который (хоть и не дает полного количественного описания) позволяет понимать происходящее и строить простые количественные оценки. Начнем с простого явления - распространения незатухающей плоской монохроматической волны. Как мы знаем, ее средняя по времени интенсивность связана с амплитудой изменения напряженности электрического поля I=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} c E_{m}^{2}, и (если нет потерь энергии) в ходе распространения интенсивность и амплитуда E_{m}=\sqrt{\frac{2 I}{\varepsilon_{0} c}}, остаются постоянными. При этом, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, эта волна в точке наблюдения P должна получиться суммированием вторичных волн от малых частей волнового фронта в предшествующий момент времени. То есть для полного решения нам нужно разбить весь волновой фронт на малые участки (например, с учетом симметрии системы можно взять тонкие кольца, лежащие между радиусами r и r+\Delta r , отсчитанными от перпендикуляра к фронту, проходящему через P ), рассчитать сигнал от этого участка в точке P и сложить все такие сигналы. Ясно, что нам придется считать сумму бесконечно большого числа бесконечно малых вкладов, то есть интеграл по всей поверхности волнового фронта.

image.png Можно ли провести анализ проще? Для этого Френелем был предложен метод, получивший название «метод зон Френеля». Посмотрим, как он работает в нашем случае. Для этого построим серию сфер с центром в точке P и радиусами больше L : R_{1}=L+\frac{\lambda}{2}, \quad R_{2}=L+\lambda, \, \ldots \, , R_{n}=L+n \frac{\lambda}{2}. Эти сферы вырезают из волнового фронта серию «зон Френеля»: первая зона Френеля - это круг радиуса r_{1} , вторая - кольцо, лежащее между радиусами r_{1} и r_{2} , и так далее для всех n . Ясно, что r_{n}=\sqrt{\left(L+n \frac{\lambda}{2}\right)^{2}-L^{2}}=\sqrt{n \lambda L+n^{2} \frac{\lambda^{2}}{4}} .

Важно сразу обратить внимание, что длина световой волны очень мала по сравнению со всеми расстояниями, на которых мы обычно следим за изменениями волны, то есть \lambda \ll L . Да и сами размеры зон Френеля оказываются малыми по сравнению с этими расстояниями. Так что для не слишком больших n : r_{n} \approx \sqrt{n \lambda L} \ll L. Энергия волны, проходящая в единицу времени через зону Френеля, пропорциональна ее площади, а эта площадь: S_{n}=\pi\left[r_{n}^{2}-r_{n-1}^{2}\right] \approx \pi \lambda L, то есть она изменяется (растет) очень медленно! Амплитуда волны, созданной вторичными источниками из одной зоны Френеля, обратно пропорциональна квадрату среднего расстояния от этой зоны до точки наблюдения, а оно тоже с ростом n медленно растет. Итак, вклады соседних зон Френеля в амплитуду волны в точке наблюдения очень близки по величине (более аккуратные рассуждения показывают, что они очень медленно убывают с ростом n ). И самое удобное свойство зон Френеля стоит в том, как колебания волн, дошедших от соседних зон Френеля до точки наблюдения, сдвинуты по фазе. Нетрудно догадаться, что в каждой из двух соседних зон можно последовательно выделить одинаковое число тонких колец, так что длина пути от колец в паре различаются на половину длины волны. Поэтому и вклады любой пары соседних зон Френеля в точке наблюдения сдвинуты по фазе на \pi , а с учетом близости их величин ясно, что они почти погашают друг друга. На базе полученной картины можно построить следующее оценочное рассуждение.