Задачи о дифракции, дисперсии и поляризации: Семинар 3

Задача 1

Условие

Внутри лазера формируется монохроматический пучок параллельных лучей диаметром d с длиной волны \lambda (d \gg \lambda) . Пучок направляется практически нормально на квадратную мишень размером a \times a , расположенную на большом расстоянии R от лазера. Пренебрегая поглощением и рассеянием света, оцените максимальную долю мощности выходящего пучка, попадающую на мишень.

Решение

Световая волны после выхода из лазера формируется как результат интерференции вторичных источников в плоскости волнового фронта, совпадающей с «выходным торцом» лазера. У пучка вне лазера за счет дифракции (связанной с ограничением волнового фронта) возникает уширение пучка. Для оценки угла дифракционного уширения можно рассмотреть интерференцию лучей, уходящих от центра и края пучка. Направление, на котором сдвиг фаз для этих лучей равен \pi , примерно отвечает первому дифракционному минимуму (то есть примерно границе расходимости пучка). Нетрудно заметить, что мы получаем условие \pi \approx 2 \pi \cdot(\vartheta d / 2) / \lambda \Rightarrow \vartheta \approx \lambda / d . На расстоянии поток энергии пучка распределен по площади \pi(\vartheta R)^{2} \approx \pi \lambda^{2} R^{2} / d^{2} , и доля мощности, приходящаяся на квадрат с площадью a^{2} примерно равна (при выполнении условия, что мишень целиком попадает в дифракционный конус) K=(d a)^{2} /\left(\pi \lambda^{2} R^{2}\right) . В качестве примера рассмотрим эксперименты по лазерной локации Луны, позволивших с огромной точностью определить расстояние между Землей и Луной. В них использовались разные лазерные системы и разные мишени, и мы произведем расчет для «характерных» значений \lambda=500 нм, d=0,5 м, a=0,5 м, R \approx 384 тыс.км. Тогда K \approx 5 \cdot 10^{-7} . Примерно 5 стотысячных долей процента! А ведь после отражения от мишени пучок тоже будет иметь дифракционную расходимость и только малая часть мощности отраженного пучка попадет в приемный телескоп!

Ответ K=(d a)^{2} /\left(\pi \lambda^{2} R^{2}\right) .

Задача 2

Условие

Дифракционную решетку освещают нормально падающим монохроматическим световым пучком с длиной волны \lambda_{1}=640 нм. При этом на экране наблюдаются три дифракционных максимума (центральный и два побочных), причем угловое отклонение крайних от центрального составляет \alpha_{1}=4^{\circ} . После замены источника света для той же решетки на экране было получено пять максимумов (центральный и четыре побочных), а угловое отклонение крайних от центрального возросло до \alpha_{2}=5^{\circ} . Найти длину волны света во втором случае.

Решение

Для первого опыта запишем формулу дифракционной решетки (мы понимаем, что крайние максимумы - это максимумы первого порядка): d \cdot \sin \left(\alpha_{1}\right)=\lambda_{1} . Во втором опыте крайние максимумы - это максимумы второго порядка, поэтому d \cdot \sin \left(\alpha_{2}\right)=2 \lambda_{2} . Разделив эти соотношения друг на друга, получаем: \frac{2 \lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\frac{\sin \left(\alpha_{2}\right)}{\sin \left(\alpha_{1}\right)} \Rightarrow \lambda_{2}=\frac{\sin \left(\alpha_{2}\right)}{2 \sin \left(\alpha_{1}\right)} \lambda_{1} \approx \frac{\alpha_{2}}{2 \alpha_{1}} \lambda_{1}=400 нм . В принципе можно было вычислить и по точной формуле, но при заданных значениях углов отличие от результата более простой приближенной формулы будет очень незначительно (менее $0,05 \ \noindent\underline{\textbf{Ответ}} \lambda_{2}=\frac{\sin \left(\alpha_{2}\right)}{2 \sin \left(\alpha_{1}\right)} \lambda_{1} \approx \frac{\alpha_{2}}{2 \alpha_{1}} \lambda_{1}=400 нм.

Задача 3

Условие

Дифракционная решетка, имеющая 750 щтрихов на 1 см, расположена параллельно экрану на расстоянии 1,5 м от него. На решетку нормально падает пучок монохроматического света. Определите длину волны света, если расстояние на экране между максимумами второго порядка, расположенными по разные стороны от центрального максимума (нулевого порядка), равно 22,5 см. Считайте, что для угловых направлений на эти максимумы tg(\alpha) \approx \sin (\alpha) . Ответ дайте в нанометрах.

Решение

После прохождения решетки лучи, отвечающие максимуму порядка m , отклоняются на угол, определяемый условием d \sin \left(\varphi_{m}\right)=m \lambda , где d - период решетки, равный \frac{4}{3} \cdot 10^{-5} м. Поскольку можно считать, что tg\left(\varphi_{2}\right) \approx \sin \left(\varphi_{2}\right) , то tg\left(\varphi_{2}\right) \approx \frac{2 \lambda}{d} . Вторые максимумы расположены симметрично относительно главного, и расстояние между ними D на экране на расстоянии L за решеткой равно удвоенному расстоянию от главного до второго: D=2 L tg\left(\varphi_{2}\right) \approx \frac{4 \lambda L}{d} . Значит, \lambda \approx \frac{d D}{4 L}=5 \cdot 10^{-7} м =500 нм.

Ответ 500 нм.