Задачи о дифракции, дисперсии и поляризации: Семинар 3

Задача 4

Условие

Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны \lambda=500 нм падает нормально на дифракционную решетку. Параллельно решетке на расстоянии L=120 см за ней установлен экран шириной D=100 см (в направлении, перпендикулярном штрихам решетки). На экране наблюдается 5 дифракционных максимумов, причем главный максимум находится посередине, а крайние максимумы попадают практически точно на противоположные края экрана. На каком расстоянии L^{\prime} за решеткой нужно установить этот экран, чтобы наблюдать на нем максимальное возможное количество дифракционных максимумов?

Решение

Из условия ясно, что в первом положении экрана на его краю находились максимумы второго порядка ( N=5 соответствует |m|=2 ). Значит, угол отклонения идущих к ним лучей от направления пучка \sin \left(\alpha_{2}\right)=\frac{2 \lambda}{d} . С другой стороны, из геометрии ясно, что tg\left(\alpha_{2}\right)=\frac{D}{2 L}=\frac{5}{12} \Rightarrow \cos \left(\alpha_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\left(\alpha_{2}\right)}}=\frac{12}{13} \Rightarrow \sin \left(\alpha_{2}\right)=\frac{5}{13} . Следовательно, \frac{\lambda}{d}=\frac{5}{26} , и максимальный порядок максимума, который можно наблюдать при направлении этого пучка а эту решетку, \left|m_{\max }\right|=\left[\frac{d}{\lambda}\right]=5 . При этом максимальное возможное число наблюдаемый максимумов равно 11. Для того, чтобы увидеть их все, нужно придвинуть экран к решетке так, чтобы на него попадали (хотя бы на самый край) лучи, отвечающие 5 -м максимумам: \sin \left(\alpha_{5}\right)=\frac{5 \lambda}{d}=\frac{25}{26} \Rightarrow \cos \left(\alpha_{5}\right)=\frac{\sqrt{51}}{26} \Rightarrow tg\left(\alpha_{5}\right)=\frac{25}{\sqrt{51}} . Таким образом, \frac{D}{2 L^{\prime}}=tg\left(\alpha_{5}\right)=\frac{25}{\sqrt{51}} \Rightarrow L^{\prime}=\frac{\sqrt{51}}{50} D=\frac{\sqrt{51}}{60} L \approx 14,28 \text { см.} Ответ L^{\prime}=\frac{\sqrt{51}}{60} L \approx 14,28 см.

Задача 5

Условие

Допустим, на грань прозрачного кубика падает под углом 45^{\circ} узкий пучок лучей от многомодового лазера. Этот пучок после преломления падает на смежную грань кубика, а затем отразившиеся лучи падают на грань, противолежащую первой. Излучение лазера содержит лучи (из видимой части спектра) с длинами волн 402 нм, 450 нм, 604 нм и 720 нм. При этом зависимость показателя преломления вещества призмы от длины волны имеет вид: n(\lambda)=1,50-\frac{\lambda}{2000 \text { нм}} . Какого цвета будут лучи, выходящие через разные грани кубика? Считать, что для данного материала при углах падения, более чем на 2^{\circ} меньших, чем угол полного внутреннего отражения, более 95 \% энергии излучения приходится на преломленные лучи, а затем доля прошедшего света резко падает.

Решение

1

Как видно из построения, при прохождении куба указанным в условии образом лучи могут испытывать полное внутреннее отражение на смежной грани куба. Угол преломления лучей при входе в куб удовлетворяет соотношению \sin (\beta)=\frac{\sin (\alpha)}{n}=\frac{1}{n \sqrt{2}} . Угол падения на смежную грань равен 90^{\circ}-\beta , и поэтому условие полного внутреннего отражения имеет вид \cos (\beta)>\frac{1}{n} \Rightarrow \sqrt{1-\frac{1}{2 n^{2}}}>\frac{1}{n} . Из него следует, что лучи полностью отражаются на смежной грани при n>\sqrt{1,5} \approx 1,225 . Теперь подсчитаем показатель преломления для каждой длины волны и выясним, какие лучи удовлетворяют этому условию. Занесем результаты расчетов в таблицу:

image.png Таким образом, красные и оранжевые лучи проходят через смежную грань. Заметим, что отличие углов падения от \alpha_{пво} , более 2^{\circ} (для оранжевых лучей - примерно 2,76^{\circ} , для красных 9,65^{\circ} ), то есть проходят практически все лучи. Синие и фиолетовые лучи испытывают полное внутреннее отражение на смежной грани и они выходят через противолежащую грань.

Ответ Лучи, выходящие через смежную грань куба, на которую падает пучок изнутри в первый раз, будут относиться к оранжево-красной части спектра, а лучи, выходящие через противолежащую грань - к сине-фиолетовой.