Задачи о дифракции, дисперсии и поляризации: Семинар 3

Задача 8

Условие

Плоская монохроматическая волна с длиной \lambda падает на плоскую ширму с прямолинейной щелью ширины d \gg \lambda . Исследовать зависимость интенсивности излучения от угла отклонения от нормали к ширме. Изобразить график зависимости интенсивности излучения, падающего на экран, установленный на расстоянии L \gg d от ширмы параллельно ей.

Решение

2 Пусть ширина щели d по порядку величины не очень сильно превосходит \lambda и сильно меньше расстояния до экрана L . Волновое поле за препятствием есть сумма вторичных волн от источников в плоскости щели. Введем координату x^{\prime} в плоскости ширмы и координату x в плоскости экрана, отсчитываемые от средней линии щели и ее проекции на экран соответственно. Рассмотрим в качестве источника вторичных волн узкую полоску толщиной d x^{\prime} в плоскости щели, и будем считать, что на расстоянии L от себя источник создает колебание с амплитудой d E_{m}=E_{m} \frac{d x^{\prime}}{d} (то есть мы считаем, что энергия приходящей волны равномерно распределена по щели, и колебания в разных точках плоскости щели синфазны - это естественно для плоской волны при d \gg \lambda ). С учетом убывания амплитуды (обратно пропорционально расстоянию) и появления фазового сдвига комплексная амплитуда этой вторичной волны в точке \vec{r} равна d \bar{E}_{m}=E_{m} \frac{d x^{\prime}}{d} \frac{L}{r} e^{i \vec{k} \vec{r}} . Здесь волновой вектор указывает направление распространения волны от каждой точки волнового фронта и |\vec{k}|=\frac{2 \pi}{\lambda} . Комплексная амплитуда колебания, получающегося в точке экрана с координатой x равна \bar{E}_{m}=\frac{E_{m}}{d} \int\limits_{-d / 2}^{+d / 2} d x^{\prime} \frac{L}{r} e^{i \vec{k} \vec{r}}. Ясно, что при L \gg d \frac{L}{r}=\frac{L}{\sqrt{L^{2}+\left(x-x^{\prime}\right)^{2}}} \approx 1 , и при этом \vec{k} \vec{r}=k\left[\cos (\vartheta) L+\sin (\vartheta)\left(x-x^{\prime}\right)\right] , где \vartheta - угол отклонения луча от нормали. В наших условиях \vartheta \ll 1 , и поэтому \vec{k} \vec{r}=k\left[L+\vartheta\left(x-x^{\prime}\right)\right] .Таким образом, \bar{E}_{m}=\frac{E_{m}}{d} e^{i k(L+\vartheta \cdot x)} \int\limits_{-d / 2}^{+d / 2} d x^{\prime} e^{-i \vartheta \cdot x^{\prime}}=-i e^{i k(L+\vartheta \cdot x)} E_{m} \frac{2}{k d \vartheta} \sin \left(\frac{k d}{2} \vartheta\right) . С учетом квадратичной связи интенсивности и амплитуды I(\vartheta)=I_{0}\left[\frac{2}{k d \vartheta} \sin \left(\frac{k d}{2} \vartheta\right)\right]^{2} \equiv I_{0} \cdot sinc^{2}\left(\frac{\pi d}{\lambda} \vartheta\right) .

3

Здесь I_{0} - интенсивность излучения в направлении \vartheta=0 . Как видно, первый ноль интенсивности (то есть угол отклонения, внутри которого находится первый дифракционный максимум) соответствует \vartheta_{d}=\frac{\lambda}{d} . На удаленном экране x \approx L \vartheta , так что распределение интенсивности в зависимости от x описывается той же формулой (см. рисунок).

Мы снова обнаружили: интерференция вторичных волн приводит к тому, что свет после щели распространяется не так, как предписывается законами геометрической оптики (то есть перпендикулярно ширме), но и с небольшими отклонениями, причем углы отклонения лучей от направления «прямолинейного» распространения оказываются порядка отношения длины волны света к размеру препятствия.

Ответ см. рисунок.