Наблюдение волновых эффектов: Семинар 2

Задача 1

Условие

Катер приближается к пристани со скоростью v=72 км/ч. Стоит безветренная погода. На пристани играет оркестр. На сколько полутонов n должны изменить свое исполнение музыканты оркестра для того, чтобы пассажиры катера слышали мелодию в неискаженной тональности? Скорость звука в воздухе примите равной c=340 м/с.

Указание. Один полутон соответствует изменению частоты звучания в k=\sqrt[12]{2} \approx 1,06 раза.

Решение

1 Поскольку ветра нет, то Систему Отсчета, в которой скорость звука равна c , можно связать с берегом, а катер с пассажирами движутся по отношению к этой СО. Пусть оркестр исполняет чистый музыкальный тон на частоте v . Уравнение звуковой волны, распространяющейся навстречу катеру в неподвижном воздухе, имеет вид: \delta p=\delta p_{m} \cos \left[2 \pi v\left(t-\frac{x}{c}\right)\right], где \delta p - избыточное давление в волне, \delta p_{m} - амплитуда колебаний давления, x координата некоторой точки. В системе отсчета, связанной с катером, координата той же точки равна x^{\prime}=x-\left(L_{0}-v t\right) , где L_{0} - расстояние между катером и пристанью в момент времени t=0 . Выражая отсюда x и подставляя его в исходное уравнение волны, получаем уравнение волны в системе отсчета, связанной с катером: \delta p=\delta p_{m} \cos \left[2 \pi v\left(t+\frac{v}{c} t-\frac{x^{\prime}}{c}-\frac{L_{0}}{c}\right)\right]=\delta p_{m} \cos \left\{2 \pi\left[v\left(1+\frac{v}{c}\right) t-v\left(\frac{x^{\prime}}{c}+\frac{L_{0}}{c}\right)\right]\right\} .

На палубе катера x^{\prime}=0 . Отсюда находим, что пассажиры катера воспринимают звуковое давление, описываемое выражением: \delta p=\delta p_{m} \cos \left(2 \pi v^{\prime} t-\varphi_{0}\right), \quad где \quad v^{\prime}=v\left(1+\frac{v}{c}\right) , \varphi_{0}=-2 \pi \nu \frac{L_{0}}{c} . Следовательно, для того чтобы пассажиры слышали правильный тон, оркестр должен исполнять его на частоте, которая ниже исходной в m=\frac{v^{\prime}}{v}=1+\frac{v}{c} раз. Ответ: оркестр должен играть ниже на n=12 \log _{2}\left(1+\frac{v}{c}\right) \approx 0,990 полутона. Фактически - примерно на один полутон ниже.

Ответ примерно на один полутон ниже.

Задача 2

Условие

На поверхность стекла нанесена тонкая пленка толщиной 180 нм с показателем преломления n меньше, чем у стекла. При каком значении n для нормально падающего монохроматического света с длиной волны 504 нм будет наблюдаться максимальное отражение?

Решение

image.png

Отметим, что на обеих границах раздела сред (воздух-пленка и пленка-стекло) отражение происходит от оптически более плотной среды, поэтому разность хода лучей, отраженных от этих границ, возникает только благодаря пути одного из них внутри пленки толщиной h : \Delta d=2 h \cdot n . Коэффициент отражения максимален, если эти воны усиливают друг друга, то есть 2 h \cdot n=m \cdot \lambda \Rightarrow n=m \cdot \frac{\lambda}{2 h}=m \cdot 1,4 .

Как видно, наиболее «естественный» ответ - это n=1,4 (у большинства стекол показатель преломления меньше или примерно такие же, но есть специальные оптические стекла с большими показателями преломления, а вот уже следующее возможное значение n=2,8 слишком велико для выполнения требований условия).

Ответ n=1,4 .