Волновые явления: Лекция 1

Волновые явления

Важную роль в физике (как в фундаментальной науке, так и в технических приложениях) играют колебания. Так называют очень широкий класс явлений, в которых некоторая физическая величина изменяется с течением времени характерным образом, а именно, когда это изменение возвратно-поступательный характер, при котором эта величина время от времени изменяет направление своего изменения на противоположное. Существует много разновидностей колебаний. Для их классификации обращают внимание на «размах» колебаний (размеры области значений величины, в которой происходит изменение) и на интервалы времени, в течении которого изменение происходит в неизменном направлении. Например, если существует такой интервал времени T , такой, что спустя этот интервал от любого момента времени колеблющаяся величина снова имеет то же значение и ту же скорость изменения (если для закона ее изменения существует такое T , что при любом t : x(t+T)=x(t) , то этот интервал времени называют периодом колебаний, а сами колебания периодическими. Часто вместо периода рассматривают другую характеристику колебаний частоту. Это величина, обратная периоду, то есть \nu \equiv \frac{1}{T} . Единицей измерения частоты в СИ считают герц (Гц), равный обратной секунде. Многие слышали, что частота колебаний напряжения в бытовой сети в России равна 50 Гц. Это означает, что колебания напряжения U(t) - периодические, с периодом 0,02 с. Если колебания тела происходят вокруг некоторой точки (для механических колебаний такой точкой обычно считают положение равновесия тела), то размах колебаний характеризуют амплитудой. Так называют максимальное отклонение величины от своего «равновесного» значения. По поведению амплитуды колебания можно поделить на незатухающие колебания (амплитуда остается неизменной), затухающие колебания (амплитуда убывает) и нарастающие колебания (амплитуда растет). В реальных системах всегда есть какие-то потери энергии (например, в механике - за счет действия сил трения), поэтому незатухающие или тем более нарастающие колебания возможны только при поступлении энергии «извне». Если потери пренебрежимо малы, то в течении некоторого времени можно наблюдать «практически» незатухающие колебания.

Среди всех колебаний особую роль играют гармонические колебания. Так называют колебания, при которых закон изменения изучаемой величины описывается тригонометрическими функциями синуса или косинуса - в общем случае это выражение вида: x(t)=A \cos (\omega t)+B \sin (\omega t), \qquad (1) в котором A и B - некоторые постоянные. Алгебраическими преобразованиями (1) можно привести к другому виду: если вынести за скобки множитель, равный \sqrt{A^{2}+B^{2}} : x(t)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left[\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \cos (\omega t)+\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \sin (\omega t)\right], можно заметить, что \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} и -\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} - числа, сумма квадратов которых равна 1. Поэтому их можно считать косинусом и синусом некоторого числа \varphi_{0} , и тогда вместо (1) получаем x(t)=x_{m} \cos \left(\omega t+\varphi_{0}\right), \qquad (2) где x_{m} \equiv \sqrt{A^{2}+B^{2}} . (1) и (2) - две разные, но эквивалентные формы записи закона гармонических колебаний. Поскольку размах колебаний синуса и косинуса не изменяется, и они являются периодическими функциями с периодом 2 \pi , то гармонические колебания - это незатухающие периодические колебания с периодом T=\frac{2 \pi}{\omega} . Величина \omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi \cdot v называется циклической частотой колебаний. Как видно, колебания происходят вокруг точки x=0, x_{m} - это амплитуда колебаний. Величину \varphi(t) \equiv \omega t+\varphi_{0} в формуле (2) часто называют фазой колебаний (а \varphi_{0} - начальной фазой).

Название «гармонические» пришло в теорию колебаний благодаря музыке. Задолго до появления физической теории звука (акустики) музыканты «на слух» выделили набор «чистых» (гармоничных) тонов и построили на их основе различные нотные схемы записи музыки. Позднее было установлено, что «чистые» тона отвечают колебаниям звукового давления (так называют отклонение давления в среде от его равновесного значения) в воздухе (или иной среде) как раз по закону синуса или косинуса. Наложением «чистых» тонов друг на друга можно образовать любой звук. Точно так же любое сложное колебание любой природы часто можно описать как наложение некоторого набора гармонических колебаний. Набор частот таких «гармоник» данного колебания называют его частотным cпeктpoм. Отметим, что нотные «шкалы» высоты звука с точки зрения физики - это именно шкалы частот, причем в логарифмическом масштабе: сдвиг на определенное количество «тонов» по музыкальной шкале отвечает изменению частоты звука в определенное количество раз. Точнее, один полутон соответствует изменению частоты звучания в k=\sqrt[12]{2} \approx 1,06 раза.

Известно немало механических систем, колебания которых с высокой точностью можно считать гармоническими колебаниями. Например, пружинный маятник (небольшое тело с массой m , прикрепленное к концу легкой упругой пружины с жесткостью k , другой конец которой закреплен неподвижно, скользящее по гладкой прямой «направляющей»), совершает гармоническое колебание с периодом T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} . Амплитуда этих колебаний определяется начальными условиями (начальным отклонением от положения равновесия, в котором пружина не деформирована, и начальной скоростью).

Другой пример системы, совершающей гармонические колебания - математический маятник. Так называют маленький массивный груз, подвешенный на легкой нерастяжимой нити длиной l в однородном поле тяжести g . Ясно, что положение равновесия такого груза соответствует вертикальному положению нити. При малых углах отклонениях от положения равновесия колебания математического маятника с высокой точностью являются гармоническими колебаниями с периодом T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} .

Уnpaжнение 1: Какой длиной будет математический маятник, используемый в качестве секундомера? Ускорение свободного падения считать равным g \approx 9,8 м/с^{2} . Ответ дайте в см, округлив его до десятых.

Ответ: 24,8

В некоторых ситуациях мы можем столкнуться с явлениями, в которых колебания какой-либо величины происходят не в ограниченной области пространства, а с течением времени распространяются в пространстве. В этом случае мы говорим о волновых явлениях. Как и в случае колебаний, можно выделить волны, в которых рассматриваемая величина (например, отклонение поверхности жидкости от «равновесного» уровня по вертикали) в выбранной точке наблюдения изменяется периодически. Такую волну тоже можно охарактеризовать периодом T , частотой \nu \equiv \frac{1}{T} или циклической частотой \omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi \cdot v колебаний. Точно так же сложную по форме волну можно разложить на гармонические составляющие. Гармоническую волну с колебаниями величины u , распространяющимися в одном направлении (вдоль оси x) можно описать выражением u(t, x)=u_{m} \cos \left(\omega t-k x+\varphi_{0}\right) . Точно так же, как при гармонических колебаниях, мы обнаруживаем в этом выражении амплитуду ( u_{m} ) и фазу ( \varphi(t) \equiv \omega t-k x+\varphi_{0} ) волны. Величину k обычно называют волновым числом для такой волны. Можно заметить и отличия: волна является периодической функцией не только в зависимости от времени, но и в зависимости от координаты: «период» изменения профиля волны в фиксированный момент времени \lambda=\frac{2 \pi}{k} . Например, у гармонической волны на поверхности воды расстояние между соседними гребнями (в направлении распространения) будет постоянно и равно \lambda . Эту величину называют длиной волны. Поверхности постоянной фазы называют «фронтами» волны. Скорость смещения каждого фронта определяется физикой процесса. Но нетрудно заметить, что условие \omega t-k x+\varphi_{0}= const эквивалентно уравнению x(t)=\frac{\omega}{k} t+x_{0} , то есть фронт гармонической волны перемещается со скоростью (которую называют фазовой скоростью волны) V=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T} . Это соотношение дает связь между фазовой скоростью, длиной волны и периодом, имеющее очень простой смысл: фронт волны за один период смещается на одну длину волны.

Упражнение 2: Поплавок, плавающий на поверхности воды, от какого-то толчка начал совершать вертикальные колебания с частотой \nu=4 Гц. От него по воде побежали волны, расстояния между гребнями которых равнялось \lambda=15 см. Определите скорость движения этих гребней. Ответ дайте в м/с, округлив его до десятых.

Ответ: 0,6