Волновые явления

Волновые явления Важную роль в физике (как в фундаментальной науке, так и в технических приложениях) играют колебания . Так называют очень широкий класс явлений, в которых некоторая физическая величина изменяется с течением времени характерным образом, а именно, когда это изменение возвратно-поступательный характер, при котором эта величина время от времени изменяет направление своего изменения на противоположное. Существует много разновидностей колебаний. Для их классификации обращают внимание на «размах» колебаний (размеры области значений величины, в которой происходит изменение) и на интервалы времени, в течении которого изменение происходит в неизменном направлении. Например, если существует такой интервал времени $T$, такой, что спустя этот интервал от любого момента времени колеблющаяся величина снова имеет то же значение и ту же скорость изменения (если для закона ее изменения существует такое $T$, что при любом $t$: $x(t+T)=x(t)$, то этот интервал времени называют периодом колебаний, а сами колебания периодическими . Часто вместо периода рассматривают другую характеристику колебаний частоту. Это величина, обратная периоду, то есть $v \equiv \frac{1}{T}$. Единицей измерения частоты в СИ считают герц (Гц), равный обратной секунде. Многие слышали, что частота колебаний напряжения в бытовой сети в России равна 50 Гц. Это означает, что колебания напряжения $U(t)$ - периодические, с периодом 0,02 с. Если колебания тела происходят вокруг некоторой точки (для механических колебаний такой точкой обычно считают положение равновесия тела), то размах колебаний характеризуют амплитудой . Так называют максимальное отклонение величины от своего «равновесного» значения. По поведению амплитуды колебания можно поделить на незатухающие колебания (амплитуда остается неизменной), затухающие колебания (амплитуда убывает) и нарастающие колебания (амплитуда растет). В реальных системах всегда есть какие-то потери энергии (например, в механике - за счет действия сил трения), поэтому незатухающие или тем более нарастающие колебания возможны только при поступлении энергии «извне». Если потери пренебрежимо малы, то в течении некоторого времени можно наблюдать «практически» незатухающие колебания. Среди всех колебаний особую роль играют гармонические колебания . Так называют колебания, при которых закон изменения изучаемой величины описывается тригонометрическими функциями синуса или косинуса - в общем случае это выражение вида: $$ x(t)=A \cos (\omega t)+B \sin (\omega t), \qquad (1) $$ в котором A и B - некоторые постоянные. Алгебраическими преобразованиями (1) можно привести к другому виду: если вынести за скобки множитель, равный $\sqrt{A^{2}+B^{2}}$: $$x(t)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left[\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \cos (\omega t)+\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \sin (\omega t)\right],$$ можно заметить, что $\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ и $-\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ - числа, сумма квадратов которых равна 1. Поэтому их можно считать косинусом и синусом некоторого числа $\varphi_{0}$, и тогда вместо (1) получаем $$ x(t)=x_{m} \cos \left(\omega t+\varphi_{0}\right), \qquad (2) $$ где $x_{m} \equiv \sqrt{A^{2}+B^{2}}$. (1) и (2) - две разные, но эквивалентные формы записи закона гармонических колебаний. Поскольку размах колебаний синуса и косинуса не изменяется, и они являются периодическими функциями с периодом $2 \pi$, то гармонические колебания - это незатухающие периодические колебания с периодом $T=\frac{2 \pi}{\omega}$. Величина $\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi \cdot v$ называется циклической частотой колебаний. Как видно, колебания происходят вокруг точки $x=0, x_{m}$ - это амплитуда колебаний. Величину $\varphi(t) \equiv \omega t+\varphi_{0}$ в формуле (2) часто называют фазой колебаний (а $\varphi_{0}$ - начальной фазой ). Название «гармонические» пришло в теорию колебаний благодаря музыке. Задолго до появления физической теории звука (акустики) музыканты «на слух» выделили набор «чистых» (гармоничных) тонов и построили на их основе различные нотные схемы записи музыки. Позднее было установлено, что «чистые» тона отвечают колебаниям звукового давления (так называют отклонение давления в среде от его равновесного значения) в воздухе (или иной среде) как раз по закону синуса или косинуса. Наложением «чистых» тонов друг на друга можно образовать любой звук. Точно так же любое сложное колебание любой природы часто можно описать как наложение некоторого набора гармонических колебаний. Набор частот таких «гармоник» данного колебания называют его частотным cпeктpoм . Отметим, что нотные «шкалы» высоты звука с точки зрения физики - это именно шкалы частот, причем в логарифмическом масштабе: сдвиг на определенное количество «тонов» по музыкальной шкале отвечает изменению частоты звука в определенное количество раз. Точнее, один полутон соответствует изменению частоты звучания в $k=\sqrt[12]{2} \approx 1,06$ раза. Известно немало механических систем, колебания которых с высокой точностью можно считать гармоническими колебаниями. Напри...