Задачи о дифракции, дисперсии и поляризации: Семинар 3

Задача 6

Условие

Белый цвет» - это равномерная смесь всех этих цветов, то есть в»белом» световом пучке во всем диапазоне длин волн от 380 нм до 740 нм на одинаковые интервалы ее значений \Delta \lambda приходятся одинаковые доли от общей интенсивности пучка I (так называют энергию светового излучения, проходящую за единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка). Пусть белый свет падает на поверхность зеркала, которую мы разглядываем через «синий» светофильтр (то есть этот светофильтр пропускает «синие» световые лучи с эффективностью, описываемой коэффициентом прохождения T(\lambda)=\frac{320 \text { нм}}{\lambda} , а все остальные полностью поглощает или отражает). Известно, что коэффициент отражения зеркала (показывающий, какую долю падающей энергии отражает зеркало для данной длины волны) R(\lambda)=\frac{\lambda}{800 нм} . Определите, какую часть от интенсивности падающего на зеркало света составляет интенсивность света, прошедшего светофильтр. Ответ запишите в процентах, с точностью до целого значения.

Решение

Пусть интенсивность падающего «белого» света равна I_{0} . Тогда на каждый «малый» интервал длин волн \Delta \lambda приходится часть общей интенсивности \Delta I=\frac{\Delta \lambda}{360 нм} I_{0} (здесь 360 нм - ширина диапазона «видимого» света 740 нм - 380 нм). После отражения от зеркала эта часть еще уменьшается и становится равной \quad \Delta I^{\prime}=R(\lambda) \cdot \Delta I=\frac{\lambda}{800 нм} \frac{\Delta \lambda}{360 нм} I_{0} . Интенсивность после прохождения светофильтра еще уменьшается: \Delta I^{\prime \prime}=T(\lambda) \Delta I^{\prime}=\frac{320 нм}{\lambda} \frac{\lambda}{800 нм} \frac{\Delta \lambda}{360 нм} I_{0}=\frac{\Delta \lambda}{900 нм} I_{0} , причем это выражение теперь относится только к «синим» лучам в диапазоне от 440 нм до 485 нм (шириной 45 нм), так как остальные лучи через светофильтр совсем не проходят. Значит, общая интенсивность пучка на выходе из светофильтра I^{\prime \prime}=\frac{45 нм}{900 нм} I_{0}=\frac{1}{20} I_{0} . Итак, его интенсивность составляет 5\% от первоначальной.

Ответ 5\%

Задача 7

Условие

Неполяризованный пучок параллельных лучей падает нормально на пару поляроидов с параллельными плоскостями и общей осью симметрии. Интенсивность прошедшего пучка света равна I_{1} . Второй (по ходу пучка) поляроид поворачивают на 45^{\circ} . В ходе поворота интенсивность прошедшего пучка монотонно уменьшается, и к окончанию поворота становится меньше I_{1} в 8 раз. На какой угол \beta нужно еще повернуть второй поляроид в том же направлении, чтобы интенсивность прошедшего пучка обратилась в ноль?

Решение

Пусть до поворота второго поляроида угол между осями поляроидов равен \alpha . Тогда, согласно закону Малюса, I_{1}=I_{0} \cdot \cos ^{2}(\alpha) . Поскольку в процессе поворота интенсивность прошедшего пучка монотонно уменьшалась, то угол между осями поляроидов рос, но не превысил 90^{\circ} , так что I_{2}=I_{0} \cdot \cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cdot Значит,

\sqrt{\frac{I_{2}}{I_{1}}}=\frac{\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos (\alpha)}=\frac{\cos (\alpha) \frac{1}{\sqrt{2}}-\sin (\alpha) \frac{1}{\sqrt{2}}}{\cos (\alpha)} \Rightarrow \text{tg}(\alpha)=1-\sqrt{\frac{2 I_{2}}{I_{1}}}=\frac{1}{2}

Для того, чтобы пучок не проходил через пару поляроидов, они должны быть скрещены, то есть угол между осями должен стать 90^{\circ} :

\alpha+\frac{\pi}{4}+\beta=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \beta=\frac{\pi}{4}-\alpha=\frac{\pi}{4}-\text{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 18,4^{\circ}.

Ответ \beta=\frac{\pi}{4}-\text{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 18,4^{\circ} .