Задачи о волновых явлениях: Семинар 1

Задача 5

Условие

Сверхзвуковой самолет пролетел точно над наблюдателем, а спустя время t=4 с наблюдатель услышал звук самолета. Известно, что скорость самолета в n=1,25 раза превышает скорость звука в воздухе V_{0} \approx 330 м/с. На какой высоте летел самолет?

Решение

image.png При движении самолета со сверхзвуковой скоростью фронт звуковой волны имеет форму конуса (его называют конус Маха). Разберем это обстоятельство. Заметим, что звук, испущенный самолетом в точке A , достигает точки B , где находится наблюдатель, за время t_{1} , а самолет за это время - точки C . При этом звук, испущенный в последующие моменты, тоже достигает прямой BC - это и есть фронт волны в вертикальной плоскости ниже траектории самолета. Угол наклона фронта к горизонтали \alpha определяется соотношением величины скорости самолета V и скорости звука V_{0} : из треугольника ABC находим, что \sin (\alpha)=\frac{|A B|}{|A C|}=\frac{V_{0}}{V}=\frac{1}{n} . Кроме того, согласно условию самолет за время t пролетел от точки D до точки C , поэтому |C D|=V t=n V_{0} t , и из треугольника BCD: H=|B D|=|C D| tg(\alpha)=n V_{0} t \frac{1 / n}{\sqrt{1-(1 / n)^{2}}}=\frac{n V_{0} t}{\sqrt{n^{2}-1}}=2200 м.

Ответ H=2200 м.

Задача 6

Условие

При изучении русла реки в ходе разведывательных работ исследовательская партия вышла к почти прямолинейному участку ее берега. На противоположной стороне реки находился скальный уступ, в который ударялось течение.

3 image.png Ниже уступа по течению была видна система «водяных валов», расходящихся от уступа. Гребни валов были почти прямолинейны и ориентированы под углом \alpha \approx 45^{\circ} к берегу (см. рисунок). Исследователи измерили расстояние между валами \lambda \approx 3,2 м. В это время их коллега спускался вниз по течению на моторной лодке, двигавшейся со скоростью V=8 м/с относительно воды. Он сообщил, что при прохождении системы валов период ударов лодки о валы равен T \approx 0,4 с. Какова скорость течения реки на этом участке?

Решение

image.png Перейдем в систему отсчета, связанную с водой. В этой системе отсчета уступ движется «против течения» со скоростью течения V_{T} . Он возбуждает волны. Наблюдаемая картина соответствует тому, что V_{T} больше скорости распространения волн по воде u . В самом деле, скорость распространения волны направлена перпендикулярно фронту, и за время утес сдвинется на расстояние V_{T} \Delta t , а фронт волны пройдет расстояние u \Delta t (рисунок слева). Значит, угол наклона валов удовлетворяет соотношению \sin (\alpha)=\frac{u}{V_{T}} . С другой стороны, при движении лодки (ее скорость задана именно в рассматриваемой системе отсчета!) интервал времени между «встречами» с валами T=\frac{\lambda}{V \sin (\alpha)+u} (на рисунке справа показано, как происходит сближение лодки и очередного фронта волны - относительно воды они движутся навстречу друг другу под углом). Подставляя сюда выражение u=V_{T} \sin (\alpha) , находим: V_{T}=\frac{\lambda}{T \sin (\alpha)}-V \approx 3,3 м/с.

Ответ скорость течения V_{T}=\frac{\lambda}{T \sin (\alpha)}-V \approx 3,3 м/с.