Задачи о волновых явлениях: Семинар 1

Задача 7

Условие

Робот оснащен датчиком освещенности, который измеряет световую энергию, попадающую в маленькое «входное окно» датчика за единицу времени. Источником света служит небольшая по размерам лампочка, испускающая свет одинаково во всех направлениях.

a) Сначала робот движется прямо на лампочку, и при этом датчик направлен на лампочку (то есть плоскость входного окна развернута перпендикулярно этому направлению). За пять секунд показания датчика увеличились в n=6,76 раза. Во сколько раз за это время уменьшилось расстояние между датчиком и лампочкой?

б) Робот останавливается на некотором расстоянии от лампочки и начинает вращаться на месте. При каком направлении датчика (по отношению к лампочке) показания датчика во время этого вращения максимальны? Во сколько раз уменьшится измеряемая датчиком освещенность, если он повернется на угол 60^{\circ} от этого направления?

Решение

а) Мощность излучения лампочки постоянна, и она светит одинаково во все стороны. Испущенная ею энергия равномерно распространяется по сферической поверхности волнового фронта. По мере удаления от лампочки площадь поверхности сферы растет пропорционально квадрату радиуса. Поэтому мощность излучения лампочки, регистрируемая датчиком (площадь «приемного» отверстия которого постоянна) на расстоянии r от нее, убывает обратно пропорционально r^{2} . Следовательно, расстояние между датчиком и лампочкой уменьшилось в \sqrt{n}=2,6 раза.

image.png б) Показания датчика максимальны, когда он направлен точно на лампочку. При повороте на угол 60^{\circ} от этого направления показания уменьшаются в два раза. Объясним это. Ясно, что максимальное количество энергии в единицу времени попадает в датчик, когда плоскость входного окна развернута перпендикулярно направлению на лампочку. Нетрудно заметить, что при повороте на угол 60^{\circ} площадь участка фронта световой волны, лучи которого попадают в входное окно датчика, уменьшается именно в два раза (можно исходить из того, что катет, лежащий против угла в 30^{\circ} , в два раза меньше гипотенузы, или из того, что высота в равностороннем треугольнике является медианой, или, наконец, из того, что \cos \left(60^{\circ}\right)=0,5 ).

Ответ а) в 2,6 раза; б) в два раза.

Задача 8

Условие

Сила тока фотодатчика прямо пропорциональна мощности светового излучения, поступающего в его «входное окно». Этот датчик разместили на небольшом роботе так, что он всегда «смотрит» вперед по ходу движения робота. Робот едет по прямой трассе с постоянной скоростью v=2 м/с на полигоне, на котором единственным источником освещения является небольшая яркая лампа, светящая равномерно во всех направлениях. В некоторый момент времени ( t_{1} \equiv 0 ) сила тока фотодатчика оказалась равна I_{1}=39 мА, к моменту t_{2}=3,5 с она увеличилась до I_{2}=52 мА, а в момент t_{3}=8 с впервые обратилась в ноль. На каком расстоянии от трассы установлена лампа? Воздух между лампой и фотодатчиком считать полностью прозрачным.

Решение

image.png Начнем с того, что разберемся, как показания фотодатчика должны зависеть от времени. Так как изучение лампы сферически симметрично, а площадь сферы растет пропорционально квадрату ее радиуса, то приходящаяся на заданную площадь мощность излучения на расстоянии r от лампы P(r)=\frac{P_{0} r_{0}^{2}}{r^{2}} , где r_{0} - минимальное расстояние от трассы до лампы, на котором мощность равна P_{0} . Однако нужно еще учесть, что входное окно датчика не направлено на лампу, а «смотрит» вперед по ходу движения.

При повороте окна датчика на угол \alpha от направления на лампу площадь, с которой в окно попадают лучи, уменьшается по закону S=S_{0} \cos (\alpha) . С другой стороны (см. рисунок), \cos (\alpha)=\frac{x}{r} , где x - расстояние от робота до точки наибольшего сближения с лампой. Таким образом, сила тока фотодатчика изменяется по закону I(t)=C \frac{x}{r^{3}}=C \frac{x}{\left(r_{0}^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}} , где C - некоторая постоянная. Как видно, момент обращения силы тока в ноль соответствует прохождению точки наибольшего сближения ( x=0 ), и с учетом закона движения робота можно записать x(t)=v\left(t_{3}-t\right) . В результате мы можем записать два независимых соотношения для известных значений силы тока фотодатчика, и найти из них искомую величину r_{0} : \left\{\begin{array}{l}

I_{1}=C \frac{v\left(t_{3}-t_{1}\right)}{\left[r_{0}^{2}+v^{2}\left(t_{3}-t_{1}\right)^{2}\right]^{3 / 2}} \\

I_{2}=C \frac{v\left(t_{3}-t_{2}\right)}{\left[r_{0}^{2}+v^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)^{2}\right]^{3 / 2}}

\end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad z \equiv\left[\frac{I_{2}\left(t_{3}-t_{1}\right)}{I_{1}\left(t_{3}-t_{2}\right)}\right]^{2 / 3}=\frac{r_{0}^{2}+v^{2}\left(t_{3}-t_{1}\right)^{2}}{r_{0}^{2}+v^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)^{2}}, откуда r_{0}=v \sqrt{\frac{\left(t_{3}-t_{1}\right)^{2}-z\left(t_{3}-t_{2}\right)^{2}}{z-1}} . Подставляя числовые данные, обнаруживаем, что z=\frac{16}{9} \quad И r_{0}=12 м.

Ответ r_{0}=v \sqrt{\frac{\left(t_{3}-t_{1}\right)^{2}-z\left(t_{3}-t_{2}\right)^{2}}{z-1}}=12 м, где z \equiv\left[\frac{I_{2}\left(t_{3}-t_{1}\right)}{I_{1}\left(t_{3}-t_{2}\right)}\right]^{2 / 3} .