Рычаги Часть 2: Рычаги

Задача 2

Условие

Однородная соломинка массой M = 1 г лежит горизонтально на двух ветках, которые делят её на участки длиной l_1 = 6 см, l_2 = 8 см и l_3 = 10 см. Два небольших жука с массами m_1 = 5 г и m_2 = 2 г, сидевших на концах соломинки, одновременно начали движение навстречу друг другу со скоростями \vartheta_1 = 1 см/с и \vartheta_2 = 4 см/с.

1. Найдите силы реакции веток N_1 и N_2 , которые действовали на соломинку до старта жуков, если g = 10 Н/кг.

2. Через какое время t_{\text{к}} после старта соломинка опрокинется, если скольжение между соломинкой и ветками отсутствует?

3. Какой должна быть масса соломинки M_0 , чтобы жуки всё-таки встретились?

29 Решение

30 1) Правило моментов для системы относительно точки 1: m_1 g l_1 + N_2 l_2 = m_2 g \left(l_2 + l_3\right) + Mg \left(\frac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right) 5 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 6 + N_2 \cdot 8 = 2 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 18 + 1 \cdot 10^{-3} \cdot 10 (12 - 6) 0,3 + 8N_2 = 0,36 + 0,06 N_2 = \frac{0,12}{8} = 0,015 \text{ Н} = 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ Н}

2) 1 условие равновесия для соломинки m_1 g + Mg + m_2 g = N_1 + N_2 5 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-2} = 1,5 \cdot 10^{-2} + N_1 8 \cdot 10^{-2} - 1,5 \cdot 10^{-2} = N_1 N_1 = 6,5 \cdot 10^{-2} \text{Н}

3) Для произвольного момента времени 2: m_1 g(l_1 + l_2 - \vartheta_1 t) + Mg\left(\frac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_3\right) = n_1 l_2 + m_2 g(l_3 - \vartheta_2 t) 5 \cdot 10^{-3} \cdot 10(14 - 1 \cdot t) + 1 \cdot 10^{-3} \cdot 10(12 - 10) = n_1 8 + 2 \cdot 10^{-3} \cdot 10(10 - 4t) 70 \cdot 10^{-2} - 5 \cdot 10^{-2} t + 2 \cdot 10^{-2} = 8n_1 + 20 \cdot 10^{-2} - 8 \cdot 10^{-2} t 0,03t = 8n_1 + 0,02 - 0,7 0,03t = 8n_1 - 0,52 8n_1 = 0,03t + 0,52 c \ t \uparrow \rightarrow n_1 \uparrow

1: m_1 g(l - \vartheta_1 t) + n_2 l_2 = Mg\left(\frac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right) + m_2 g(l_2 + l_3 - \vartheta_2 t) 5 \cdot 10^{-2} (6 - 1t) + n_2 \cdot 8 = 1 \cdot 10^{-2} (12 - 6) + 2 \cdot 10^{-2} (18 - 4t) 0,3 - 0,05t + 8n_2 = 0,06 + 0,36 - 0,08t 8n_2 = 0,12 - 0,03t c \ t \uparrow \rightarrow n_2 \downarrow

4) Опрокидывание произойдет когда n_2 = 0 Тогда 0,03t = 0,12 t_{\text{опрокид}} = 4 \text{ с}

5) Для ответа на 3-ий вопрос найдем время встречи жуков t_{\text{встр}} = \frac{l_1 + l_2 + l_3}{\vartheta_1 + \vartheta_2} = \frac{24 \text{см}}{5 \frac{\text{см}}{\text{с}}} = 4,8 \text{ с} t_{\text{встр}} > t_{\text{опрокид}}

6) Расстояние, которое должен пройти левый жук до встречи \vartheta_1 t = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}} \cdot 4,8 \text{ с} = 4,8 \text{ см} < l_1

31 Чтобы не опрокинулось, если точка 1 – точка опоры, а N_2 \rightarrow 0 , то M_0 g \left(\frac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right) = (m_1 + m_2)g(l_1 - \vartheta_1 t) M_0 \left(\frac{24}{2} - 6\right) = 7 \cdot (6 - 4,8) M_0 \cdot 6 = 7 \cdot 1,2 M_0 = 1,4 \text{ г}

Ответ N_1 = 6,5 \cdot 10^{-2}\text{Н}; N_2 = 1,5 \cdot 10^{-2}\text{Н}; t_{\text{опрокид}} = 4 \text{ с}; M_0 = 1,4 \text{ г}