Распространение волн. Наложение волн. Когерентность: Лекция 2

Пример 4

Условие

image.png Вторая распространення схема интерференция двух когерентных параллельных пучков (и в этом случае оба пучка обычно образованы лучами одного и того же источника). Пусть лучи двух параллельных пучков палают на экран под углами \alpha и \beta к нормали (с разных сторн от нормали). Найти ширину интерференционной полосы в наблюдаемой картине.

Решение

Рассмотрим две соседние светлые полосы интерференционной картины, отвечающие максимумам интерференции. Допустим, что максимум в точке встречи лучей 1 и 2 отвечает m -ому порядку, то есть d_{1}-d_{2}=m \cdot \lambda . Порядок соседнего максимума отличается на 1. При этом, как видно из геометрии, \left\{\begin{array}{l}

d_{1}^{\prime}-d_{1}=\Delta \cdot \sin (\alpha) \\

d_{2}-d_{2}^{\prime}=\Delta \cdot \sin (\beta)

\end{array} \qquad \right\} \Rightarrow d_{1}^{\prime}-d_{2}^{\prime}=d_{1}-d_{2}+\Delta \cdot[\sin (\alpha)+\sin (\beta)]=(m+1) \cdot \lambda .

image.png Из выражения для новой разности хода мы поняли, что она увеличилась, и в результате нам стало понятно, что \Delta \cdot[\sin (\alpha)+\sin (\beta)]=\lambda . Если углы будут достаточно велики, то ширина интерференционной полосы будет порядка длины волны. Значи, эту схему удобно использовать при очень малых углах падения, когда синусы можно заменить на сами углы в радианной мере. Таким образом, \Delta \approx \frac{\lambda}{\alpha+\beta}.

Ответ \Delta \approx \frac{\lambda}{\alpha+\beta} .

Третья популярная схема интерференции связана с наблюдением цветов тонких пленок.

8 Очень эфектным примером ее реализации является «переливчатое» изменение наблюдаемого цвета мыльной пленки - например, стенки мыльного шара. При разных углах падения разность хода лучей изменяется, и вместе с ней изменяется длина волны, отвечающая максимуму интерференции для лучей, отраженных в данной точке.

image.png Рассмотрим теперь тонкую пленку на поверхности прозрачной среды. Будем считать для определенности, что показатель преломления «подложки» больше показателя преломления пленки n , то есть отражение от обеих границ пленки происходит от оптически более плотной среды, и фазовые сдвиги при отражениях одинаковы для лучей 1 и 2 (см. рисунок). Тогда оптическая разность хода этих лучей от точки A равна \Delta d=2 n \cdot|AB|-|AD| . C учетом закона преломления \sin (\beta)=\frac{1}{n} \sin (\alpha) \Rightarrow \cos (\beta)=\sqrt{1-\frac{\sin ^{2}(\alpha)}{n^{2}}}, и поэтому |AB|=\frac{h}{\cos (\beta)}=\frac{n h}{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2}(\alpha)}}, а |AD|=|AC| \cdot \sin (\alpha)=2 h \cdot tg(\beta) \cdot \sin (\alpha)=\frac{2 h \cdot \sin ^{2}(\alpha)}{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2}(\alpha)}} . Следовательно, \Delta d=2 n \cdot \frac{n h}{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2}(\alpha)}}-\frac{2 h \cdot \sin ^{2}(\alpha)}{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2}(\alpha)}}=2 h \sqrt{n^{2}-\sin ^{2}(\alpha)}.

Видимый цвет пленки соответствует длине волны, для которой выполняется условие максимумов \quad \Delta d=m \cdot \lambda , то есть 2 h \sqrt{n^{2}-\sin ^{2}(\alpha)}=m \lambda . Так что видимый цвет действительно определяется углом наблюдения: если освещение поверхности диффузное (то есть лучи падают на поверхность со всех сторон), то для каждого направления наблюдения найдутся нужные лучи, и мы увидим свет с длиной волны, удовлетворяющей нашему условию.

Упражнение 6: На поверхность из прозрачного материала с показателем преломления 1,8 нанесена тонкая пленка из прозрачного материала с показателем преломления 1,5 . При разглядывании этой поверхности под углом 60^{\circ} к нормали (в глаз попадают лучи, идущие от поверхности имено в этом направлении) видимый цвет поверхности (оранжевый) точно отвечает длине волны 600 нм. Известно, что толщина пленки меньше 300 нм. Определите ее с ошибкой менее нм. Ответ запишите в нм.

Ответ: 245