Графические задачи

Задача 7

Условие

В вертикальном цилиндре с гладкими стенками под массивным металлическим поршнем находится идеальный газ. B первоначальном состоянии 1 поршень опирается на жёсткие выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (рис. 1), а газ занимает объём V_{0} и находится под давлением p_{0} , равным внешнему атмосферному. Его температура в этом состоянии равна T_{0} . Газ медленно нагревают, и он переходит из состояния 1 в состояние 2 , в котором давление газа равно 2 p_{0} , а его объём равен 2 V_{0} (рис. 2). Количество вещества газа при этом не меняется. Постройте график зависимости объёма газа от его температуры при переходе из состояния 1 в состояние 2 .

59 Решение

Так как поршень массивный, то запишем условие равновесия поршня во втором случае: F_{г}=F_{\mathrm{a}}+m g.

Также из второй картинки можно понять, что для равновесия поршня необходимо чтобы под ним было давление 2 p_{0} . Тогда сначала будет происходить изохорный нагрев. Поэтому чтобы давление выросло в два раза необходимо поднять температуру в два раза. Тогда она будет равна 2 T_{0} .

После того как поршень оторвется от выступов давление будет постоянным, а объем будет увеличиваться до 2 V_{0} . При этом температура увеличится еще на 2 T_{0} и станет равной 4 T_{0} . Итоговый график будет выглядеть следующим образом:

60 Задача 8

Условие

Идеальный газ находится в цилиндре, закрытом подвижным поршнем. На рисунке дана диаграмма, иллюстрирующая изменение внутренней энергии U газа и передаваемое ему количество теплоты Q .

Опишите изменение объема газа при его переходе из состояния 1 в состояние 2, а затем в состояние 3.

61 Решение

В процесса 1-2 газ получает некоторое положительное количество теплоты, а его внутренняя энергия постоянна, следовательно, по первому закону термодинамики Q=\Delta U+A=A, где A - работа газа. Так как Q>0 , то и A>0 , следовательно, объем увеличивается.

В процессе 2-3 внутренняя энергия уменьшается, количество теплоты не подводится к газу, следовательно, по первому закону термодинамики Q=\Delta U+A \Rightarrow-\Delta U=A. Тогда A>0 и объем увеличивается.

Задача 9

Условие

На рисунке 1 приведена зависимость внутренней энергии U двух моль идеального одноатомного газа от его давления p в процессе 1-2-3 . Постройте график этого процесса на рисунке 2 в переменных p-V . Точка, соответствующая состоянию 1 , уже отмечена на этом рисунке.

62 Решение

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа пропорциональна его абсолютной температуре: U=\frac{3}{2} \nu R T .

Процесс 1-2: внутренняя энергия газа постоянна, следовательно, температура газа также постоянна, а объём уменьшается (из графика). Так как процесс изотермический, то по закону Бойля-Мариотта p V= const. Объём из графика уменьшился в 2 раза, значит, давление выросло в 2 раза. График представляет собой гипербола (изотерма).

Процесс 2-3: из графика U \sim V , значит, T \sim V , значит \frac{T}{V}= const процесс изобарный p= const. По графику внутренняя энергия увеличилась в 1,5 раза как и объём. График представляет собой горизонтальную прямую.

63 Задача 10

Условие

Один моль гелия участвует в циклическом процессе, график которого изображён на рисунке в координатах p-T , где p - давление газа, T абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, сравните работу газа в процессе 1-2 и модуль работь внешних сил в процессе 3-4. Постройте график цикла в координатах p V , где p - давление газа, V - объём газа.

64 Решение

Для начала построим график циклического процесса в координатах p-V . Для этого проанализируем процессы. Процесс 1-2 давление постоянно, по закону Гей-Люссака V \sim T , при этом температура увеличивается в 4 раза, значит, объём также увеличивается в 4 раза ( V_{2}=4 V_{1}=4 V_{0} ). В координатах p-V горизонтальный отрезок.

Процесс 2-3 изотермический по закону Бойля-Мариотта p V=c o n s t , значит, при увеличении давления в 2 раза объём уменьшится в 2 раза. В координатах p-V - гипербола.

Процесс 3-4 изобарный по закону Гей-Люссака V \sim T , при этом так как уменьшается температура в 2 раза, то и объём уменьшается в 2 раза В координатах p-V горизонтальный отрезок.

Процесс 4-1. Для его анализа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона: p V=\nu R T, где \nu - количество вещества.

Так как количество газа постоянно, то \frac{p V}{T}=\nu R=\text { const. } В процессе 4-1 p=\alpha T , где \alpha - некоторый коэффициент.

Подставим в предыдущее уравнение: \frac{V \alpha T}{T}=V \alpha=\text { const. } То есть объём в этом процессе постоянен.

Изобразим циклический процесс в координатах p-V :

65 Работу газа можно найти как площадь под графиком. Для процесса 1-2 она равна: A_{12}>p_{0}\left(4 V_{0}-V_{0}\right)=3 p_{0} V_{0}. А для процесса 3-4 : \left|A_{34}\right|=2 p_{0}\left(2 V_{0}-V_{0}\right)=2 p_{0} V_{0} . То есть A_{12}>\left|A_{34}\right| .