Показательные и однородные уравнения: Часть 4

Видео

Конспект

Некоторые примеры однородных уравнений

Задача 1.19.

Условие

Решить уравнение 3^{2x^2+6x-9}+4\cdot 15^{x^2+3x-5} = 3\cdot 5^{2x^2+6x-9}.

Решение

Понятно, что в данном уравнении два основания - 3 и 5 . При этом есть два разных показателя, связанных между собой. Введем замену для одного из этих показателей: y=x^2+3x-5. Тогда 2y=2x^2+6x-10=2x^2+6x-9-1. Заметим, что подобная замена позволяет привести исходное уравнение к виду: 3^{2y+1}+4\cdot 15^y-3\cdot 5^{2y+1} = 0. Преобразуем полученное уравнение: 3\cdot 3^{2y} + 4\cdot 3^y \cdot 5^y - 15\cdot 5^{2y} = 0 и разделим его на 5^{2y} . В результате получаем 3\cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{2y} + 4\cdot \left( \frac{3}{5} \right)^y - 15 = 0. Введем еще одну замену: z = \left( \frac{3}{5} \right)^y,\ \ \ \ z>0. Тогда 3z^2 + 4z - 15 = 0. Корни данного уравнения имею вид z = \frac{-2 \pm \sqrt{4+45}}{3} = \frac{-2\pm 7}{3}. Нам подходит корень z=\frac{5}{3} . Обратный переход к y дает \left( \frac{3}{5} \right)^y = \frac{5}{3}. Обратная замена к x дает x^2 + 3x - 5 = 1 или x^2+3x-4=0. Корни этого уравнения: \left[

\begin{array}{lll}

x=1,\\

x=-4.

\end{array}\right.

Ответ x=1, \; -4.

Замечание. В подобных задачах к замене нужно подходить грамотно. Например, замена t = x^2+3x приводит исходное уравнение к виду 3^{2t-9} + 4\cdot 3^{t-5}\cdot 5^{t-5} - 3\cdot 5^{2t-9}=0. Тогда \frac{3^{2t}}{3^9} + \frac{4\cdot 3^t\cdot 5^t}{15^5} - \frac{3\cdot 5^{2t}}{5^9} = 0, 5^9 \cdot 3^{2t} + 4\cdot 15^4 \cdot 3^t \cdot 5^t - 3^{10} \cdot 5^{2t} = 0, то есть полученное уравнение становится неудобным для решения.

Задача для самостоятельного решения:

10\cdot 2^{2\left( x^2+x \right) -3} + 3\cdot 10^{x^2+x-1} - 2\cdot 5^{2x^2+2x-2}=0.