Показательные и однородные уравнения: Часть 1

Видео

Конспект

Некоторые примеры показательных уравнений. Часть 2

Задача 1.11.

Условие

Решить уравнение 6^{\frac{x}{2}} - 3\cdot 6^{1- \frac{3x}{2}} = 3\cdot 6^{-\frac{x}{2}}.

Решение

Первый вопрос, на который мы должны ответить при решении таких задач - сколько здесь разных оснований? Понятно, что здесь только одно основание ( 6 ), однако структура показателей (присутствуют как положительные, так и отрицательные показатели) несколько усложняет задачу.

Чтобы упростить данное уравнение, вспомним, что показательная функция всегда положительна. Умножим это уравнение на 6^{\frac{3x}{2}} . В результате получаем 6^{2x}-3\cdot 6 = 3\cdot 6^x. Введем замену переменной 6^x=y,\ \ \ \ y>0. Тогда получаем уравнение вида y^2 - 3y-18=0. Это квадратное уравнение имеет два корня: \left( y-6 \right) \left( y+3 \right) =0. Учтем, что y>0 , поэтому правильным является корень y=6 . Обратная замена дает 6^x=6\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1.

Ответ x=1.

Задача 1.12.

Условие

Решить уравнение \left( \frac{1}{11} \right)^{6x+8} = \frac{1}{121^{x-2}}

Решение

Преобразуем уравнение таким образом, чтобы основанием было число 11 : 11^{-6x-8} = 121^{2-x}, 11^{-6x-8} = 11^{4-2x}. Так как справа и слева от знака равенства стоят показательные функции с одинаковым основанием, это равенство эквивалентно равенству их степеней -6x-8=4-2x. Решаем это уравнение: -12=4x. В результате получаем x=-3 .

Ответ x=-3.

Задача 1.13.

Условие

Решить уравнение 27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}.

Решение

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства степеней: 27^{\sqrt{x-1}} = 9^{\frac{1}{2}\left( x+1 \right) }, 27^{\sqrt{x-1}} = 3^{x+1}. Приведем члены уравнения к одному показателю: 3^{3\sqrt{x-1}} = 3^{x+1}. Так как основания одинаковы, полученное равенство эквивалентно следующему равенству степеней 3\sqrt{x-1} = x+1. Возведём это равенство в квадрат, учитывая условие неотрицательности правой части \left\{

\begin{array}{lll}

9\left( x-1 \right) = \left( x+1 \right) ^2,\\

x+1\geqslant 0.

\end{array}\right. Отсюда получаем \left\{

\begin{array}{lll}

x^2+2x+1 - 9x+9 = 0,\\

x+1\geqslant 0,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

x^2 -7x+10=0,\\

x+1\geqslant 0.

\end{array}\right. Корни этого уравнения \left[

\begin{array}{ccc}

x=2,\\

x=5

\end{array}\right. удовлетворяют условию x+1\geqslant 0 .

Ответ x=2, \; 5.

Некоторые примеры показательных уравнений. Часть 3

Задача 1.14.

Условие

Решить уравнение 7^{\sqrt{x} } - 2\cdot 7^{2-\sqrt{x}} = 47.

Решение

Избавимся от отрицательной степени -\sqrt{x} , умножив уравнение на 7^{\sqrt{x}} . В результате получим 7^{2\sqrt{x}} - 2\cdot 7^2 = 47 \cdot 7^{\sqrt{x}}. Введем замену переменной 7^{\sqrt{x}} = y,\ \ \ \ y\geqslant 1. Ограничение y\geqslant 1 обусловлено тем, что \sqrt{x}\geqslant 0 . Значит, минимальное возможное значение y = 2 (рис. 11). Конкретно в этой задаче данное ограничение не играет большой роли, однако в задачах с параметром подобные тонкости могут быть очень важны.

11 После замены переменной получаем уравнение y^2-47y-2\cdot 49=0. Распишем полученное уравнение в виде y^2-49y+2y-2\cdot 49=0, что позволяет найти корни: y\left( y-49 \right) + 2\left( y-49 \right) = 0, \left( y+2 \right) \left( y-49 \right) = 0. Из-за полученного ранее ограничения y\geqslant 1 корень y=-2 нам не подходит. Остается корень y=49 , который после обратной замены дает 7^{\sqrt{x}} = 7^2. Отсюда получаем \sqrt{x}=2 , то есть x=4 .

Ответ x=4.