Метод рационализации. Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Применение метода рационализации к неравенствам со сложными показательными функциями

Метод рационализации оказывается очень удобным при решении неравенств типа f\left( x \right) ^{g(x)} > 1, или, в общем виде, f\left( x \right) ^{g(x)} > f\left( x \right)^{h(x)}. Перепишем последнее неравенство в виде f\left( x \right)^{g(x)}-f\left( x \right)^{h(x)}>0. Рассмотрим два случая:

если f(x)=1 , то неравенство не выполняется;

если f(x)>1 , то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

g(x) > h(x);

если 0<f(x)<1 , то неравенство выполняется, если g(x)<h(x).

Задача 1.43.

Условие

Решить неравенство \left| x-2 \right|^{\left( 3x^2-5x \right)} \leqslant 1.

Решение

Перейдем к одному основанию: \left| x-2 \right|^{3x^2-5x}\leqslant \left| x-2 \right| ^0, \left| x-2 \right|^{3x^2-5x}-\left| x-2 \right| ^0 \leqslant 0. Перейдем к эквивалентной системе неравенств: \left\{

\begin{array}{lll}

\left( \left| x-2 \right| -1 \right) \left( 3x^2-5x-0 \right) \leqslant 0,\\

\left| x-2 \right| > 0.

\end{array}\right. Чтобы избежать раскрытия модуля, домножим неравенство на \left( \left| x-2 \right| +1 \right) : \left\{

\begin{array}{lll}

\left( \left( x-2 \right) ^2-1 \right) \left( 3x^2-5x \right) \leqslant 0,\\

x\neq 2,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\left( x-3 \right) \left( x-1 \right) \cdot x\cdot \left( 3x-5 \right) \leqslant 0,\\

x\neq 2.

\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов: x \in \left[ 0,1 \right] \cup \left[ \frac{5}{3},2 \right) \cup \left( 2,3 \right] .

Ответ x \in \left[ 0,1 \right] \cup \left[ \frac{5}{3},2 \right) \cup \left( 2,3 \right] .