Показательные неравенства: Часть 1

Видео

Конспект

Простейшие показательные неравенства

Рассмотрим простейшие показательные неравенства: например, a^x >b или a^x < b .

Сразу отметим несколько специфических случаев:

Если b\leqslant0 , то a^x > b\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \mathbb{R}, a^x<b\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \varnothing.

Если a=1 , то

при b>1 a^x>b\ \ \Leftrightarrow\ \ 1>b\ \ x \in \varnothing, a^x <b\ \ \Leftrightarrow\ \ 1<b\ \ x \in \mathbb{R}.

при b<1 - наоборот

Теперь рассмотрим общий случай: a\neq 1 . Отметим, что в этом случае показательная функция монотонна. Если a>1 , то показательная функция монотонно возрастает (рис. 18).

Поэтому a^x > b\ \ \Leftrightarrow\ \ x>\log_ab, a^x < b\ \ \Leftrightarrow\ \ x<\log_ab. В случае a<1 показательная функция монотонно убывает (рис. 19).

Поэтому a^x >b\ \ \Leftrightarrow\ \ x < \log_ab a^x < b\ \ \Leftrightarrow\ \ x > \log_ab

Примеры показательных неравенств

Задача 1.30.

Условие

\sqrt{3} \cdot 4^x \leqslant \sqrt{2} \cdot 9^x. Решение

Разделим правую и левую части неравенства на 4^x \cdot \sqrt{2} . При этом знак неравенства не изменится: \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } \leqslant \frac{9^x}{4^x}. Преобразуем полученное неравенство: \sqrt{\frac{3}{2}} \leqslant \left( \frac{3}{2} \right)^{2x}, \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \left( \frac{3}{2} \right)^{2x}. Учтем, что \left( \frac{3}{2} \right)^x - возрастающая функция (рис. 20).

20 Поэтому \frac{1}{2} \leqslant 2x, x\geqslant \frac{1}{4}.

Задача 1.31.

Условие

Решить неравенство \left( \sqrt{2} \right)^{3x} + \left( 2\sqrt{2} \right)^x \geqslant 2\cdot 4^x.

Решение

Учтем, что \left( \sqrt{2} \right)^3 = 2\sqrt{2}. Таким образом, исходное неравенство можно представить в виде \left( \sqrt{2} \right)^{3x} + \sqrt{2}^{3x} \geqslant 2\cdot 4^x, 2\left( \sqrt{2}^{3x} \right) \geqslant 2\cdot 4^x, \left( \sqrt{2} \right)^{3x} \geqslant 4^x. Перейдем к одному основанию: \left( \sqrt{2} \right)^{3x} \geqslant \left( \sqrt{2} \right)^{4x} \sqrt{2}>1 , поэтому \left( \sqrt{2} \right)^x - возрастающая функция, поэтому 3x \geqslant 4x,\ \ \Leftrightarrow\ \ x\leqslant 0.

Ответ x\leqslant 0.