Показательные неравенства: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 1.36. Условие Решить неравенство 3^{x^4-2\left( x+1 \right)^2}\geqslant 3^{x^2\left( x+1 \right)}. Решение Воспользуемся тем, что это неравенство относительно возрастающей показательной функции...
Видео
Конспект
Задача 1.36.
Условие
Решить неравенство 3^{x^4-2\left( x+1 \right)^2}\geqslant 3^{x^2\left( x+1 \right)}.
Решение
Воспользуемся тем, что это неравенство относительно возрастающей показательной функции, поэтому x^4 - 2\left( x+1 \right)^2 \geqslant x^2 \left( x+1 \right). Перенесем все в левую часть: x^4-x^2\left( x+1 \right) -2\left( x+1 \right)^2 \geqslant 0. Заметим, что это однородное неравенство второй степени относительно x^2 и x+1 вида a^2-ab-b^2 \geqslant 0.
Рассмотрим два случая:
x+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-1. Видно, что x=-1 является решением данного неравенства.
Если же x=-1 , то мы можем разделить неравенство на \left( x-1 \right)^2 : \frac{x^4}{\left( x+1 \right)^2} - \frac{x^2}{x+1} - 2 \geqslant 0
Введем замену: \frac{x^2}{x+1} = y, y^2-y-2\geqslant 0, \left( y+1 \right) \left( y-2 \right) \geqslant 0. Отсюда получаем \left[
\begin{array}{lll}
y\leqslant -1,\\
y\geqslant 2.
\end{array}\right. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\frac{x^2}{x+1}\leqslant -1,\\
\frac{x^2}{x+1}\geqslant 2,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
\frac{x^2+x+1}{x+1}\leqslant 0,\\
\frac{x^2-2x-2}{x+1}\geqslant 0.
\end{array}\right. Найдем корни квадратного трехчлена x^2-2x-2=0: x=1\pm \sqrt{1+2},
x=1\pm \sqrt{3} Теперь можем воспользоваться методом интервалов для решения неравенства:
x \in \left( -\infty, 1-\sqrt{3} \right] \cup \left[1+\sqrt{3};+\infty \right) .
Ответ x \in \left( -\infty, 1-\sqrt{3} \right] \cup \left[1+\sqrt{3};+\infty \right) .