Сложные показательные функции. Метод рационализации.: Часть 1
Математика, 10 класс
Уравнения со сложными показательными функциями Рассмотрим уравнения вида f\left( x \right) ^{g\left( x \right)} = f\left( x \right) ^{h\left( x \right) }. Пример \left| x-3 \right|^{x^2-x} = \left| x-...
Видео
Конспект
Уравнения со сложными показательными функциями
Рассмотрим уравнения вида f\left( x \right) ^{g\left( x \right)} = f\left( x \right) ^{h\left( x \right) }.
Пример
\left| x-3 \right|^{x^2-x} = \left| x-3 \right|^2. Уравнения с показательными функциями с постоянным основанием
Сперва рассмотрим уравнения вида a^{g(x)} = a^{h(x)}. Есть два принципиально разных случая, в которых равенство является верным:
Если a=1 и g(x),h(x) определены (область их определения и дает ответ).
Если a\neq 1 и g(x)=h(x) .
Представим эти два случая в виде совокупности: \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
a=1,\\
g(x), h(x)\ \ определены,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
a\neq 1,\\
g\left( x \right) = h\left( x \right) .
\end{array}\right.
\end{array}\right.
Уравнения с показательными функциями с переменным основанием
В случае задачи f\left( x \right) ^{g\left( x \right)} = f\left( x \right) ^{h\left( x \right) } приведенные выше условия формально имеют тот же вид: \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
f\left( x \right) = 1,\\
g\left( x \right) , h\left( x \right) \ \ существуют,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
f\left( x \right) \neq 1,\\
g\left( x \right) = h\left( x \right) .
\end{array}\right.
\end{array}\right. Используя приведенные рассуждения, решим уравнение \left| x-3 \right|^{x^2-x} = \left| x-3 \right|^2. Учтем ОДЗ: x-3\neq 0 и рассмотрим совокупность \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
\left| x-3 \right| = 1,\\
x^2-x;\ \ 2\ существуют всегда,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
\left| x-3 \right| \neq 1,\\
x^2-x=2.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Эта совокупность равносильна \left[
\begin{array}{lll}
x=2,\\
x=4,\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-x-2=0,\\
\left| x-3 \right| \neq 1.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Отсюда получаем решения \left[
\begin{array}{ccc}
x=2,\\
x=4,\\
x=-1.
\end{array}\right.
Метод рационализации (или переход к эквивалентным уравнениям)
Задача 1.24.
Условие
\left| x-3 \right| ^{3x^2-10x+3}=1. Решение
Описанный выше подход к решению подобных задач дает совокупность \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
\left| x-3 \right| = 1,\\
3x^2-10x+3\ \ существует,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
\left| x-3 \right| > 0,\\
\left| x-3 \right| \neq 1,\\
3x^2-10x+3=0.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Отсюда получаем \left[
\begin{array}{lll}
x=2,\\
x=4,\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x\neq 3,2,4,\\
\left( 3x-1 \right) \left( x-3 \right) = 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Таким образом, решения имеют вид \left[
\begin{array}{ccc}
x=2,\\
x=4,\\
x=\frac{1}{3}.
\end{array}\right.
Ответ x=2, \; 4, \; 1/3.
Метод рационализации
Напомним, что два уравнения (две системы уравнений, два неравенства) называются равносильными, если их множества решений совпадают.
Заметим, что уравнение вида f\left( x \right) ^{g(x)} = f\left( x \right) ^{h(x)} оно же f\left( x \right) ^{g(x)}-f\left( x \right) ^{h(x)} = 0 равносильно \left\{
\begin{array}{lll}
\left( f\left( x \right) -1 \right) \left( g\left( x \right) -h(x) \right) = 0,\\
f\left( x \right) > 0.
\end{array}\right. Подобный переход называется методом рационализации (или переходом к эквивалентному уравнению).
Воспользуемся этим методом для решения предыдущей задачи: \left| x-3 \right|^{3x^2-10x+3}=1.
Метод рационализации дает \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \left| x-3 \right| -1 \right) \left( 3x^2-10x+3 \right) = 0,\\
\left| x-3 \right| > 0.
\end{array}\right. Умножим равенство на \left| x-3 \right| + 1 . В результате получаем \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \left( x-3 \right) ^2-1 \right) \left( 3x-1 \right) \left( x-3 \right) = 0,\\
x\neq 3,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-4 \right) \left( x-2 \right) \left( 3x-1 \right) \left( x-3 \right) = 0,\\
x\neq 3.
\end{array}\right.