Сложные показательные функции. Метод рационализации.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 1.28.

Условие

Решить уравнение 2^x+2^{-x} = 2\cos \frac{x}{3}.

Решение

Заметим, что правая часть равенства - ограниченная функция. Чтобы получить связь с левой частью равенства, разделим уравнение на 2 \frac{2^x+2^{-x}}{2} = \cos \frac{x}{3} и воспользуемся неравенством о средних: \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}\ \ \ \ для любых a,b\geqslant 0, причем \frac{a+b}{2} = \sqrt{ab} \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ a=b. Таким образом, для левой части уравнения справедливо \frac{2^x+2^{-x}}{2}\geqslant \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} =1, причем \frac{2^x+2^{-x}}{2} = 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^x=2^{-x}. Вспомним, что графики функций 2^x и 2^{-x} имеют только одну точку пересечения (рис. 15).

15 Поэтому \frac{2^x+2^{-x}}{2}\geqslant 1,\ \ \ \ \cos \frac{x}{2}\leqslant 1. Значит, равенство имеет место только при x=0 .

Ответ x=0.

Задача 1.29.

Условие

Решить уравнение \left( \frac{1}{3} \right)^{x^2+2x} = 4 - \left| \sin \left[ \left( x-1 \right) \cdot \frac{\pi}{4} \right] \right|.

Решение

Преобразуем левую часть равенства: \left( \frac{1}{3} \right)^{x^2+2x+1-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^{\left( x+1 \right)^2}\cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{\left( x+1 \right)^2} = 3 \cdot 3^{-\left( x+1 \right)^2}. Получим оценку для данной функции. Для этого рассмотрим график функции y=\left( \frac{1}{3} \right)^z (рис. 16).

16 Из графика видно, что \left( \frac{1}{3} \right)^z<1 при z>0 .

Аналогичные рассуждения справедливы для y=3^z (рис. 17).

17 Таким образом, 3 \cdot 3^{-\left( x+1 \right)^2} \leqslant 3. Заметим также, что 3 \leqslant 4-\left| \sin \left( x-1 \right) \cdot \frac{\pi}{4} \right| \leqslant 4 Таким образом, исходное равенство справедливо только когда обе части исходного равенства равны трем. Левая часть равенства равна 3 тогда и только тогда, когда x+1=0 . Значит, x=-1 . Подстановка x=-1 в правую часть равенства тоже дает 3 . Значит, x=-1 - искомое решение.

Ответ x=-1.