Особые примеры показательных уравнений: Часть 1

Видео

Конспект

Особые примеры показательных уравнений

Задача 1.20.

Условие

Решить уравнение 10^x-2^{x+1}-5^{x+2}+50=0.

Решение

Перед нами уравнение с двумя основаниями - 2 и 5 . Однако данное уравнение нельзя свести к однородному.

Преобразуем исходное уравнение и обратим внимание на его структуру: 2^x\cdot 5^x-2\cdot 2^x - 25\cdot 5^x+50=0, 2^x \left( 5^x-2 \right) - 25 \left( 5^x-2 \right) = 0. Таким образом, уравнение имеет вид \left( 2^x-25 \right) \left( 5^x-2 \right) = 0, то есть \left[

\begin{array}{lll}

2^x=25,\\

5^x=2.

\end{array}\right. Отсюда получаем решение в виде \left[

\begin{array}{lll}

x=\log_225 = 2\log_2 5,\\

x=\log_52.

\end{array}\right.

Ответ x=2\log_2 5, \; \log_52.

Задача 1.21.

Условие

Решить уравнение 5^{2x} = 3^{2x} + 2\cdot 5^x + 2\cdot 3^x.

Решение

Перенесем все слагаемые в одну сторону: 5^{2x}-3^{2x}-2\cdot 5^x-2\cdot 3^x=0. Заметим, что в структуре уравнения присутствует разность квадратов: \left( 5^x-3^x \right) \left( 5^x+3^x \right) - 2\left( 5^x+3^x \right) =0, \left( 5^x+3^x \right) \left( 5^x-3^x-2 \right) =0. Первое слагаемое здесь всегда положительно, поэтому это уравнение эквивалентно уравнению 5^x-3^x-2=0. Видно, что это уравнение имеет как минимум один корень: x=1 . Докажем, что это единственный корень. Для этого представим уравнение в виде 5^x-3^x=2 и отметим, что функция слева от знака равенства является строго монотонной. Чтобы доказать этот факт, рассмотрим производную: 5^x \cdot \ln 5 - 3^x \cdot \ln 3. Отметим, что это выражение положительно: 5^x \cdot \ln 5 - 3^x \cdot \ln 3 >0 тогда и только тогда, когда \left( \frac{5}{3} \right)^x - \frac{\ln 3}{\ln 5}> 0, \left( \frac{5}{3} \right)^x > \frac{\ln 3}{\ln 5}.

Ответ x=1.