Особые примеры показательных уравнений

Уравнения со степенными и показательными функциями Задача 1.22. Условие Решить уравнение $$ x^2 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} + 4^{2-x} = 4^{\sqrt{2-x} +2} + x^2 \cdot 2^{-2x}. $$ Решение ОДЗ: $2-x\geqslant 0$, $x\leqslant 2$. Преобразуем уравнение: $$ x^2 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} - x^2 \cdot 2^{-2x} + 4^{2-x}-4^{\sqrt{2-x}+2} = 0, $$ $$ x^2 \cdot \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 2^{-2x} \right) + 4^2 \cdot 4^{-x} - 4^{\sqrt{2-x}} \cdot 4^2 = 0, $$ $$ x^2 \cdot \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 4^{-x} \right) - 4^2 \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 4^{-x} \right) = 0, $$ $$ \left( x^2-4^2 \right) \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 4^{-x} \right) = 0. $$ Таким образом: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \left[ \begin{array}{lll} x^2-4=0,\\ 4^{\sqrt{2-x}}-4^{-x}=0,\\ \end{array}\right. \\ \ \ \ \ x\leqslant 2. \end{array}\right. $$ Рассмотрим первый случай: $$ \left\{ \begin{array}{lll} x^2-4^2=0,\\ x\leqslant 2, \end{array}\right. $$ что эквивалентно $$ \left\{ \begin{array}{lll} \left( x-4 \right) \left( x+4 \right) = 0,\\ x\leqslant 2. \end{array}\right. $$ Таким образом, получаем решение $x=-4$. Рассмотрим второй случай: $$ 4^{\sqrt{2-x}} = 4^{-x}. $$ Приравнивая степени, получаем $$ \sqrt{2-x} = -x, $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} 2-x=x^2,\\ x\leqslant 0, \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} x^2+x-2=0,\\ x\leqslant 0. \end{array}\right. $$ Таким образом, получаем решение $x=-2$. Ответ $x=-4, \; -2.$ Задача 1.23. Условие Решить уравнение $$ x^2 \cdot 6^{-x} + 6^{\sqrt{x} +2} = x^2 \cdot 6^{\sqrt{x}} + 6 ^{2-x} $$ Решение ОДЗ: $x\geqslant 0$. Преобразуем исходное уравнение: $$ x^2 \cdot 6^{-x} - x^2 \cdot 6^{\sqrt{x}} + 6^2 \cdot 6^{\sqrt{x}} - 6^2 \cdot 6^{-x} = 0, $$ $$ x^2 \left( 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} \right) - 6^2 \left( 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} \right) = 0, $$ $$ \left( x^2-6^2 \right) \left( 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} \right) = 0. $$ Перепишем полученное выражение в виде $$ \left[ \begin{array}{ccc} 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} = 0,\\ \left\{ \begin{array}{lll} x^2-6^2=0,\\ x\geqslant 0. \end{array}\right. \end{array}\right. $$ Рассмотрим первое уравнение: $$ 6^{-x}=6^{\sqrt{x}}, $$ $$ -x=\sqrt{x}. $$ Учтем, что имеет место условие $x\geqslant 0$. Значит, должно выполняться также $-x \geqslant 0$. В противном случае равенство не выполняется. Таким образом, единственным корнем здесь является $x=0$. Рассмотрим второе уравнение совокупности: $$ \left\{ \begin{array}{lll} x^2-6^2=0,\\ x\geqslant 0, \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} \left[ \begin{array}{lll} x=6,\\ x=-6, \end{array}\right.\\ x\geqslant 0 \end{array}\right. $$ Таким образом, решение $x=6$. Ответ $x=0, \; 6.$