Особые примеры показательных уравнений: Часть 2
Математика, 10 класс
Уравнения со степенными и показательными функциями Задача 1.22. Условие Решить уравнение $$ x^2 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} + 4^{2-x} = 4^{\sqrt{2-x} +2} + x^2 \cdot 2^{-2x}. $$ Решение ОДЗ: $2-x\geqslant 0$...
Видео
Конспект
Уравнения со степенными и показательными функциями
Задача 1.22.
Условие
Решить уравнение $$
x^2 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} + 4^{2-x} = 4^{\sqrt{2-x} +2} + x^2 \cdot 2^{-2x}.
$$
Решение
ОДЗ: $2-x\geqslant 0$, $x\leqslant 2$.
Преобразуем уравнение: $$
x^2 \cdot 4^{\sqrt{2-x}} - x^2 \cdot 2^{-2x} + 4^{2-x}-4^{\sqrt{2-x}+2} = 0,
$$ $$
x^2 \cdot \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 2^{-2x} \right) + 4^2 \cdot 4^{-x} - 4^{\sqrt{2-x}} \cdot 4^2 = 0,
$$ $$
x^2 \cdot \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 4^{-x} \right) - 4^2 \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 4^{-x} \right) = 0,
$$ $$
\left( x^2-4^2 \right) \left( 4^{\sqrt{2-x}} - 4^{-x} \right) = 0.
$$ Таким образом: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
x^2-4=0,\\
4^{\sqrt{2-x}}-4^{-x}=0,\\
\end{array}\right. \\
\ \ \ \ x\leqslant 2.
\end{array}\right.
$$ Рассмотрим первый случай: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-4^2=0,\\
x\leqslant 2,
\end{array}\right.
$$ что эквивалентно $$
\left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-4 \right) \left( x+4 \right) = 0,\\
x\leqslant 2.
\end{array}\right.
$$ Таким образом, получаем решение $x=-4$.
Рассмотрим второй случай: $$
4^{\sqrt{2-x}} = 4^{-x}.
$$ Приравнивая степени, получаем $$
\sqrt{2-x} = -x,
$$ $$
\left\{
\begin{array}{lll}
2-x=x^2,\\
x\leqslant 0,
\end{array}\right.
$$ $$
\left\{
\begin{array}{lll}
x^2+x-2=0,\\
x\leqslant 0.
\end{array}\right.
$$ Таким образом, получаем решение $x=-2$.
Ответ $x=-4, \; -2.$
Задача 1.23.
Условие
Решить уравнение $$
x^2 \cdot 6^{-x} + 6^{\sqrt{x} +2} = x^2 \cdot 6^{\sqrt{x}} + 6 ^{2-x}
$$
Решение
ОДЗ: $x\geqslant 0$.
Преобразуем исходное уравнение: $$
x^2 \cdot 6^{-x} - x^2 \cdot 6^{\sqrt{x}} + 6^2 \cdot 6^{\sqrt{x}} - 6^2 \cdot 6^{-x} = 0,
$$ $$
x^2 \left( 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} \right) - 6^2 \left( 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} \right) = 0,
$$ $$
\left( x^2-6^2 \right) \left( 6^{-x}-6^{\sqrt{x}} \right) = 0.
$$ Перепишем полученное выражение в виде $$
\left[
\begin{array}{ccc}
6^{-x}-6^{\sqrt{x}} = 0,\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-6^2=0,\\
x\geqslant 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
$$ Рассмотрим первое уравнение: $$
6^{-x}=6^{\sqrt{x}},
$$ $$
-x=\sqrt{x}.
$$ Учтем, что имеет место условие $x\geqslant 0$. Значит, должно выполняться также $-x \geqslant 0$. В противном случае равенство не выполняется. Таким образом, единственным корнем здесь является $x=0$.
Рассмотрим второе уравнение совокупности: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-6^2=0,\\
x\geqslant 0,
\end{array}\right.
$$ $$
\left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
x=6,\\
x=-6,
\end{array}\right.\\
x\geqslant 0
\end{array}\right.
$$ Таким образом, решение $x=6$.
Ответ $x=0, \; 6.$