Метод рационализации. Часть 1: Часть 1

Видео

Конспект

Метод рационализации (метод перехода к эквивалентным неравенствам)

Метод рационализации применяется в тех случаях, когда неравенство содержит смесь показательных функций с другими типами функций или когда неравенство содержит сложные показательные функции.

Рассмотрим основную идею метода. Рассмотрим неравенство вида \left( a^{f(x)}-a^{g(x)} \right) > 0. Рассмотрим два случая:

при a>1 функция a^z является возрастающей. Значит, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0.

при 0<a<1 исходное неравенство равносильно неравенству f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0.

Задача 1.37.

Условие

Решить неравенство \frac{3-x^2}{3^x-9}>0.

Решение

Перепишем неравенство в виде \frac{3-x^2}{3^x-3^2}>0. Понятно, что при x>2 знаменатель положителен, а при x<2 - отрицателен. Значит, в рамках нашей задачи знаменатель ведет себя так же, как и x-2 : \frac{3-x^2}{x-2}>0. Решение этого неравенства \frac{\left( \sqrt{3} -x \right) \left( \sqrt{3} + x \right)}{x-2} > 0 методом интервалов дает x \in \left( -\infty;-\sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ;2 \right) .

Ответ x \in \left( -\infty;-\sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ;2 \right) .

Применение метода рационализации при решении показательных неравенств

Задача 1.38.

Условие

Решить неравенство \frac{x^3+1}{\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} - \frac{1}{16}} \leqslant 0.

Решение

Приведем неравенство к виду: \frac{x^3+1}{\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2}-\left( \frac{1}{2} \right)^4} \leqslant 0. Так как \left( \frac{1}{2} \right)^z - убывающая функция, знаменатель ведет себя так же, как и -\left( x^2-4 \right) : \frac{x^3+1}{-\left( x^2-4 \right)} \leqslant 0. Замечание. Для упрощения дальнейшего рассмотрения заметим, что неравенство a^{f(x)}-a^{g(x)} > 0 эквивалентно неравенству \left( a-1 \right) \left( f(x)-g(x) \right) > 0.

В данной задаче подобный подход дает эквивалентное выражение вида \frac{x^3+1}{\left( \frac{1}{2}-1 \right) \left( x^4-4 \right) } \leqslant 0. Разложение числителя и знаменателя на скобки дает \frac{\left( x+1 \right) \left( x^2-x+1 \right)}{-\frac{1}{2}\left( x-2 \right) \left( x+2 \right) } \leqslant 0. Метод интервалов (рис. 23) дает x \in \left( -2;-1 \right] \cup \left( 2;+\infty \right) .

Ответ x \in \left( -2;-1 \right] \cup \left( 2;+\infty \right) .

Задача 1.39.

Условие

Решить неравенство \frac{x^2-5}{3^x-2}<0.

Решение

Любое положительное число можно представить в виде значения показательной функции. В частности, 2=3^{\log_3 2} (рис. 24) : \frac{x^2-5}{3^x-3^{\log_3 2}} < 0.

Воспользуемся методом рационализации: \frac{\left( x-\sqrt{5} \right) \left( x+\sqrt{5} \right)}{\left( 3-1 \right) \left( x-\log_3 2 \right)} < 0. Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 25). Отметим, что \log_3 2 стоит между точками -\sqrt{5} и \sqrt{5} , так как \log_3 2 < \log_3 9 = 2<\sqrt{5}.

Ответ x \in \left( -\infty;-\sqrt{5} \right) \cup \left( \log_3 2;\sqrt{5} \right) .